Apostila de Matemática

Conjuntos: conceito e importância

Na matemática, o conceito de conjunto é fundamental, pois serve como base para diversas áreas e aplicações. Um conjunto pode ser definido como uma coleção bem definida de elementos distintos, reunidos para formar um todo. Esses elementos podem ser números, letras, objetos ou qualquer entidade que possa ser claramente identificada e diferenciada dos demais.

A importância do estudo dos conjuntos está relacionada à sua capacidade de formalizar e organizar informações, sendo um instrumento essencial para o desenvolvimento do raciocínio lógico e da matemática em geral. Além disso, a Teoria dos Conjuntos é a estrutura básica para a construção dos números e para a definição das operações matemáticas, aparecendo em temas mais avançados, incluindo análise, álgebra e lógica.

Definição e notação de conjuntos

Formalmente, representamos um conjunto pela letra maiúscula (como A, B ou M), utilizando chaves para listar seus elementos ou para definir a propriedade que os caracteriza:

• Listagem de elementos: M = {m₁, m₂, m₃, ...}
• Definição por propriedade: M = {x | x satisfaz a propriedade P}

Para indicar que um elemento m pertence a um conjunto M, usamos a notação m ∈ M, e para indicar que não pertence, m ∉ M.

Exemplos:

• Conjunto dos números naturais: ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
• Conjunto dos números inteiros negativos: ℤ^- = {..., -3, -2, -1}
• Conjunto vazio: ∅ = {}, que não contém nenhum elemento.

Subconjuntos e conjuntos iguais

Um conjunto A é subconjunto de outro conjunto B se todos os elementos de A também pertencem a B. Escrevemos isso como A ⊂ B.

Se dois conjuntos têm exatamente os mesmos elementos, dizemos que são iguais, e representamos por A = B.

Exemplos de subconjuntos numericamente expressos:

Conjuntos numéricos e ordem

Existem vários conjuntos numéricos fundamentais, como:

• ℕ – Números naturais;
• ℤ – Números inteiros;
• ℚ – Números racionais;
• ℝ – Números reais.

Note que: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.

A relação de ordem nos números reais é representada pelo símbolo ≤, que indica a relação "menor ou igual que". Essa relação possui as seguintes propriedades para quaisquer elementos a, b, c, d ∈ ℝ:

Intervalos numéricos

Intervalos são subconjuntos dos números reais definidos por dois números reais a e b, onde a ≤ b. Podemos classificá-los em:

Além dos intervalos finitos, existem intervalos infinitos, por exemplo:

• ]−∞, b[: todos os números menores que b;
• [a, +∞[: todos os números maiores ou iguais a a;
• ]−∞, +∞[ = ℝ: todos os números reais.

Operações com conjuntos

União (∪)

A união entre dois conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A ou a B (ou a ambos). Formalmente:

A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}

Exemplo 1:

Se A = {1, 2, 4, 6} e B = {0, 2, 5, 6}, então

A ∪ B = {0, 1, 2, 4, 5, 6}

Propriedades importantes da união:

• Comutativa: A ∪ B = B ∪ A
• Associativa: A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
• Contém os conjuntos: A ⊂ A ∪ B e B ⊂ A ∪ B
• Elemento neutro: A ∪ ∅ = A

Intersecção (∩)

A intersecção entre dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem simultaneamente a A e B. Formalmente:

A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}

Exemplo 2:

Se A = {1, 2, 4, 6} e B = {0, 2, 5, 6}, então

A ∩ B = {2, 6}

Propriedades importantes da intersecção:

• Comutativa: A ∩ B = B ∩ A
• Associativa: A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
• Subconjunto: A ∩ B ⊂ A e A ∩ B ⊂ B
• Elemento neutro: A ∩ ∅ = ∅

Diferença (-)

A diferença entre os conjuntos A e B é composta pelos elementos que pertencem a A mas não pertencem a B:

A - B = {x | x ∈ A e x ∉ B}

Exemplo 3:

• {1, 2, 3, 4} - {1, 3} = {2, 4}
• {1, 2} - {vermelho, branco, verde} = {1, 2} (não há elementos em comum)

Produto Cartesiano (×)

O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os pares ordenados (a, b), onde a ∈ A e b ∈ B:

A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}

Exemplo 4:

• {1, 2} × {vermelho, branco} = {(1, vermelho), (1, branco), (2, vermelho), (2, branco)}
• {1, 2} × {1, 2} = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}

O produto cartesiano é usado para construir o plano cartesiano (ℝ × ℝ) e espaços multidimensionais.

Dicas e observações importantes

• O conjunto vazio ∅ é subconjunto de qualquer conjunto, pois não possui elementos contraditórios.
• Conjuntos iguais possuem os mesmos elementos, independentemente da ordem ou da forma como são escritos.
• Para resolver inequações, o conjunto solução pode ser expresso em forma de intervalo (exemplo: ]−∞, −3] ∪ [−2, 1/2]).
• Na união, elementos repetidos são considerados uma única vez.
• No produto cartesiano, a ordem dos elementos do par é importante — (a, b) é diferente de (b, a), a menos que a = b.

Exercícios

1. Defina o conjunto dos números inteiros positivos menores que 6, utilizando a notação de conjuntos.
2. Dado A = {1, 3, 5, 7} e B = {2, 3, 6, 7}, determine A ∪ B, A ∩ B e A - B.
3. O conjunto C é definido como {x ∈ ℝ | −1 ≤ x < 3}. Classifique o intervalo correspondente (aberto, fechado ou semifechado).
4. Determine se o seguinte conjunto é vazio, e justifique: D = {x ∈ ℝ | x² + 1 = 0}.
5. Considere os conjuntos E = {a, b, c} e F = {1, 2}. Escreva o produto cartesiano E × F.
6. Se G = {0, 1, 2}, qual é o conjunto G × ∅?
7. Mostre que ∅ é subconjunto de qualquer conjunto H.
8. Sejam I e J conjuntos tais que I ⊂ J. Demonstre que I ∪ J = J.
9. Se K é o conjunto dos números pares e L é o conjunto dos números ímpares, determine K ∩ L.
10. Resolva a seguinte inequação e expresse o conjunto solução em notação de intervalos: (x - 1)(x + 2) ≤ 0.

Resolução dos exercícios

1. Os inteiros positivos menores que 6 são: {1, 2, 3, 4, 5}.

2. A ∪ B = {1, 2, 3, 5, 6, 7}
   A ∩ B = {3, 7}
   A - B = {1, 5}.

3. O conjunto C = {x ∈ ℝ | −1 ≤ x < 3} representa um intervalo semifechado à direita, pois inclui −1 e exclui 3, ou seja, [−1, 3[.

4. A equação x² + 1 = 0 não tem soluções reais, pois x² ≥ 0 para todo x ∈ ℝ. Logo, D = ∅, o conjunto vazio.

5. E × F = {(a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2)}.

6. Como o produto cartesiano com conjunto vazio gera conjunto vazio, G × ∅ = ∅.

7. Como ∅ não possui elementos, não há nenhum elemento que pertença a ∅ e não pertença a H. Portanto, ∅ é subconjunto de qualquer conjunto.

8. Se I ⊂ J, todo elemento de I já está em J; assim, a união contém todos os elementos de J e, possivelmente, os de I, que são os mesmos. Logo, I ∪ J = J.

9. Como números pares e ímpares são disjuntos, sua intersecção é o conjunto vazio: K ∩ L = ∅.

10. Primeiro, encontramos as raízes das expressões: x - 1 = 0 ⇒ x = 1, x + 2 = 0 ⇒ x = -2.

    Os intervalos que testamos são: ]-∞, -2[, [-2, 1], ]1, +∞[.

    Testando pontos nos intervalos na inequação:

    • Para x = -3: (-3 – 1)(-3 + 2) = (-4)(-1) = 4 > 0 (não satisfaz)
    • Para x = 0: (0 – 1)(0 + 2) = (-1)(2) = -2 ≤ 0 (satisfaz)
    • Para x = 2: (2 – 1)(2 + 2) = (1)(4) = 4 > 0 (não satisfaz)

    Logo, o conjunto solução é [-2, 1].

Resumo

Este capítulo abordou aspectos essenciais da Teoria dos Conjuntos, começando pelo conceito de conjunto como uma coleção bem definida de elementos e seguindo para a notação padrão para representar conjuntos. Foram apresentados os conceitos de subconjuntos e igualdade entre conjuntos, além da relação de ordem no conjunto dos números reais. A tratar, também, os intervalos numéricos — abertos, fechados e semifechados — e suas representações.

Exploramos as principais operações entre conjuntos: união, intersecção, diferença e produto cartesiano, oferecendo exemplos e discutindo suas propriedades básicas. Por fim, exercícios variados fortaleceram a fixação do conteúdo, com as resoluções apresentadas detalhadamente para facilitar o entendimento.

Com uma boa compreensão da Teoria dos Conjuntos, o estudante estará preparado para avançar nos estudos matemáticos com segurança e clareza.

As medidas de tendência central são ferramentas estatísticas essenciais para resumir um conjunto de dados por meio de números que representam seu comportamento típico. Entre essas medidas, destacam-se a média, a mediana e a moda, que facilitam a compreensão e a análise dos dados em diversas situações práticas, como avaliações escolares, pesquisas sociais e econômicas, e tomada de decisões gerais.

Compreender essas medidas e como aplicá-las corretamente é fundamental para estudantes do ensino médio que se preparam para concursos e exames, pois os itens cobrados geralmente exigem o cálculo, interpretação e comparação dessas estatísticas.

Média Aritmética

A média aritmética é a medida mais utilizada para representar um conjunto de dados. Ela consiste na soma dos valores dividida pela quantidade total de valores, mostrando o valor médio ou "centro de equilíbrio" dos dados.

Matematicamente, para um conjunto de n números x₁, x₂, ..., x_n, a média (𝑥̄) é dada por:

𝑥̄ = (x₁ + x₂ + ... + x_n) / n

Exemplos de média aritmética

• Notas de João: 8,7; 6,3; 7,1; 7,9
• Cálculo: (8,7 + 6,3 + 7,1 + 7,9) / 4 = 30 / 4 = 7,5
• A média é 7,5, indicando que as notas, em média, estão próximas desse valor.

Dica

Visualizar a média como um "equilíbrio" ajuda a entender que valores maiores do que a média "cedem" pontos aos valores menores para que todos fiquem iguais ao valor da média.

Média Ponderada

Enquanto a média aritmética trata todos os valores com igual importância, a média ponderada atribui pesos diferentes a cada valor, expressando a relevância relativa de cada dado.

Para números com pesos, a média ponderada (𝑥̄_p) é calculada por:

𝑥̄_p = (x₁·p₁ + x₂·p₂ + ... + x_n·p_n) / (p₁ + p₂ + ... + p_n)

Exemplo de média ponderada

Cálculo:

Somatório dos produtos = 8,7 + 12,6 + 21,3 + 31,6 = 74,2

Somatório dos pesos = 1 + 2 + 3 + 4 = 10

Média ponderada = 74,2 / 10 = 7,42

Observação

Na média ponderada, valores com pesos maiores têm mais influência no resultado.

Mediana

A mediana é o valor central de um conjunto de dados ordenados, que divide o conjunto em duas partes aproximadamente iguais — metade dos valores estão abaixo e metade acima da mediana.

Para determinar a mediana, siga as regras abaixo:

Exemplo com número par

Notas de João (ordenadas): 6,3; 7,1; 7,9; 8,7

Mediana = (7,1 + 7,9) / 2 = 15 / 2 = 7,5

Dica

Para encontrar a mediana, não basta achar o valor médio: é preciso ordenar os dados primeiro!

Moda

A moda é o valor que aparece com maior frequência num conjunto de dados. Um conjunto pode ser:

• Amodal: quando nenhum valor se repete ou todos aparecem com a mesma frequência.
• Unimodal: quando há um único valor com maior frequência.
• Multimodal: quando existem dois ou mais valores com a mesma frequência máxima.

Exemplos

• Conjunto: 8,7; 6,3; 7,1; 7,9 — Amodal (nenhum se repete).
• Conjunto com uma quinta nota: 8,7; 6,3; 7,1; 7,9; 8,7 — Moda = 8,7
• Conjunto: 4; 4; 7; 7; 9 — Bimodal: moda 4 e moda 7

Resumo das medidas de tendência central

Exercícios

1. Calcule a média aritmética do conjunto: 10, 15, 20, 25.
2. Determine a média ponderada das notas 7, 8 e 9, com pesos 1, 2 e 2, respectivamente.
3. Encontre a mediana dos números: 12, 4, 9, 15, 10.
4. Qual a moda do conjunto: 3, 5, 3, 8, 9, 5, 3?
5. No conjunto {2, 4, 6, 8}, qual será a mediana? Explique.
6. Uma turma obteve as seguintes notas: 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9. Identifique a média, mediana e moda.
7. Explique o que acontece com a média aritmética se adicionarmos um valor muito maior que os demais num conjunto de dados.
8. Em um concurso, as provas tiveram pesos diferentes: redação (peso 3), matemática (peso 4) e português (peso 3). Se um candidato tirou 80 em redação, 75 em matemática e 90 em português, qual é sua média ponderada?
9. Se em um conjunto de dados a mediana for 50 e a moda for 30, o que isso pode indicar sobre a distribuição dos valores?
10. Explique com suas palavras qual é a importância de conhecer as medidas de tendência central para analisar resultados de provas em concursos públicos.

Respostas e explicações

1. Média = (10 + 15 + 20 + 25) / 4 = 70 / 4 = 17,5.
2. Média ponderada = (7×1 + 8×2 + 9×2) / (1 + 2 + 2) = (7 + 16 + 18) / 5 = 41 / 5 = 8,2.
3. Ordenando: 4, 9, 10, 12, 15 (quantidade ímpar). Mediana = valor central = 10.
4. O valor que mais se repete é 3, pois aparece 3 vezes. Moda = 3.
5. Ordenando: 2, 4, 6, 8 (quantidade par). Mediana = (4 + 6) / 2 = 5.
6. • Média = (6+7+7+8+8+8+9)/7 = 53/7 ≈ 7,57
   • Mediana (ordenando): 6,7,7,8,8,8,9 → valor central (4º) = 8
   • Moda = 8 (mais frequente: aparece 3 vezes)
7. Adicionar um valor muito maior eleva a média, pois ela é sensível a valores extremos, podendo não representar bem o conjunto.
8. Média ponderada = (80×3 + 75×4 + 90×3) / (3+4+3) = (240 + 300 + 270)/10 = 810/10 = 81.
9. Isso indica que a distribuição pode ser assimétrica: moda menor que mediana sugere assimetria à direita (alguns valores muito altos puxam a média para cima).
10. Conhecer essas medidas ajuda a entender o desempenho geral e particular dos candidatos, permitindo avaliar notas médias, tendências e valores mais comuns, além de identificar possíveis disparidades.

Resumo

Neste capítulo, aprendemos que as medidas de tendência central — média, mediana e moda — são instrumentos cruciais para representar conjuntos de dados de forma clara e resumida.

A média aritmética é o valor médio simples; a média ponderada considera a importância relativa dos valores; a mediana indica o valor central; e a moda destaca o elemento mais frequente. Cada medida tem aplicações específicas e indica aspectos particulares da distribuição dos dados.

Dominar o cálculo e a interpretação dessas medidas é indispensável para resolver questões de concursos que envolvam análise de dados, favorecendo uma tomada de decisão mais embasada e segura.

A Regra de Três é uma técnica matemática fundamental para resolver problemas envolvendo duas ou mais grandezas proporcionais. Consiste em encontrar um valor desconhecido (quarto termo) a partir de três valores conhecidos, estabelecendo relações de proporcionalidade direta ou inversa entre grandezas.

Esta ferramenta é amplamente utilizada em diversas situações cotidianas e em questões de concursos públicos, possibilitando uma resolução rápida e eficiente de problemas que envolvem comparações de quantidades proporcionais.

Regra de Três Simples

A Regra de Três Simples é aplicada quando há apenas duas grandezas proporcionais envolvidas no problema. Para utilizá-la, seguem-se os passos abaixo:

1. Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas, mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes que se relacionam.
2. Identificar o tipo de proporcionalidade: direta (quando uma grandeza aumenta e a outra também aumenta) ou inversa (quando uma aumenta e a outra diminui).
3. Montar a proporção e resolver a equação para encontrar o valor desconhecido.

Exemplos práticos de Regra de Três Simples

Exemplo 1 – Proporcionalidade Direta

Uma lancha com uma área de absorção solar de 1,2 m² produz 400 watts por hora. Aumentando a área para 1,5 m², a energia produzida será:

Como a energia aumenta com o aumento da área, trata-se de grandezas diretamente proporcionais. Montando a proporção:

1,2 / 400 = 1,5 / x

Multiplicando cruzadamente:

1,2 × x = 1,5 × 400

x = (1,5 × 400) / 1,2 = 500 watts

Portanto, a energia produzida será de 500 watts.

Exemplo 2 – Proporcionalidade Inversa

Um trem velocista percorre uma determinada distância em 3 horas a uma velocidade média de 400 km/h. Se a velocidade aumentar para 480 km/h, qual será o tempo necessário para o mesmo percurso?

Nesse caso, as grandezas são inversamente proporcionais: ao aumentar a velocidade, o tempo diminui.

A regra para grandezas inversamente proporcionais é:

400 × 3 = 480 × x

Resolvendo:

x = (400 × 3) / 480 = 2,5 horas

Ou seja, o percurso será feito em 2 horas e 30 minutos.

Exemplo 3 – Proporcionalidade Direta (Quantidade e Preço)

Bárbara pagou R$ 120,00 por 3 camisetas. Quanto pagaria por 5 camisetas do mesmo tipo e valor?

Como aumentar o número de camisetas aumenta o custo, a relação é direta:

3 / 120 = 5 / x

Multiplicando cruzado:

3 × x = 5 × 120

x = (5 × 120) / 3 = 200

Bárbara pagaria R$ 200,00 por 5 camisetas.

Resumo rápido da Regra de Três Simples

Regra de Três Composta

Utiliza-se a Regra de Três Composta para resolver problemas que envolvam três ou mais grandezas relacionadas, que podem ser direta ou inversamente proporcionais entre si.

Procedimentos:

1. Organize os dados em uma tabela, separando cada grandeza em uma coluna e colocando as grandezas correspondentes na mesma linha.
2. Identifique a proporcionalidade de cada grandeza em relação àquela cujo valor é desconhecido.
3. Calcule o produto dos valores diretamente proporcionais e o produto dos inversamente proporcionais.
4. Monte a proporção e resolva para encontrar o valor desconhecido.

Exemplo prático de Regra de Três Composta

Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160 m³ de areia. Quantos caminhões serão necessários para descarregar 125 m³ em 5 horas?

Analisando as relações:

• Horas e caminhões são inversamente proporcionais (mais horas, menos caminhões).
• Volume e caminhões são diretamente proporcionais (mais volume, mais caminhões).

A proporção para o cálculo é:

x × 8 / 5 = 20 × 125 / 160

Isolando x:

x = (20 × 125 × 5) / (160 × 8) = 25 caminhões

Serão necessários 25 caminhões.

Dicas importantes para aplicar a Regra de Três

• Sempre organize os dados em tabelas para visualizar melhor as relações.
• Identifique corretamente o tipo de proporcionalidade para montar a equação correta.
• Lembre-se que em grandezas inversamente proporcionais, o produto dos valores é constante.
• Pratique com diversos exemplos para fixar o método.

Exercícios

1. Um carro percorre 300 km em 5 horas. Quantos quilômetros percorrerá em 8 horas na mesma velocidade?
   Resposta: 480 km. Como velocidade constante, a relação é direta: 300/5 = x/8 → x = (300×8)/5 = 480 km.
2. Três máquinas produzem 180 peças em 6 horas. Quantas peças 5 máquinas produzirão em 6 horas?
   Resposta: 300 peças. Proporção direta entre máquinas e peças: 3/180 = 5/x → x = (5×180)/3 = 300.
3. Um grupo de 12 operários realiza uma obra em 20 dias, trabalhando 8 horas por dia. Se o número de operários passar para 15 e o dia de trabalho para 5 horas, em quantos dias a obra será concluída?
   Resposta: 25,6 dias. Operários e horas de trabalho exercem influência inversa no tempo.
4. Duas bombas, trabalhando juntas, enchem um tanque em 3 horas. Quanto tempo levaria uma bomba sozinha para enchê-lo?
   Resposta: 6 horas. Como a quantidade de bombas e o tempo são inversamente proporcionais.
5. Um trem viaja a 360 km/h e leva 5 horas para uma viagem. Se aumentar a velocidade para 450 km/h, quanto tempo levará?
   Resposta: 4 horas. Proporção inversa: 360×5=450×x → x=4h.
6. Se 4 kg de arroz custam R$ 20, quanto custarão 7 kg?
   Resposta: R$ 35. Proporção direta: 4/20=7/x → x= (7×20)/4=35.
7. Um eletricista demora 3 horas para instalar 5 luminárias. Quanto tempo levará para instalar 8 luminárias?
   Resposta: 4,8 horas. Proporção direta entre luminárias e tempo: 5/3=8/x → x= (8×3)/5=4,8h.
8. Uma caixa contém 120 chocolates. Se 4 pessoas dividem a caixa igualmente, quantos chocolates cada uma receberá? E se forem 6 pessoas?
   Resposta: 30 chocolates para 4 pessoas e 20 para 6 pessoas; inversamente proporcional.
9. Uma gráfica usa 6 máquinas para imprimir 12.000 panfletos em 2 horas. Quantas máquinas são necessárias para imprimir 18.000 panfletos em 4 horas?
   Resposta: 4,5 máquinas (arredondando, 5 máquinas).
10. Um trabalhador faz uma tarefa em 10 dias, trabalhando 6 horas por dia. Se ele quiser terminar em 5 dias, quantas horas por dia deve trabalhar?
    Resposta: 12 horas. Proporção inversa entre tempo e horas por dia: 10×6=5×x → x=12h.

Resumo

A Regra de Três é essencial para resolver problemas práticos de proporcionalidade, facilitando o cálculo de valores desconhecidos a partir de relacionamentos diretos ou inversos entre grandezas. A Regra de Três Simples envolve apenas duas grandezas, enquanto a Regra de Três Composta lida com três ou mais, exigindo maior atenção nas relações entre as variáveis. Dominar essa técnica aumenta consideravelmente a eficiência na resolução de questões em concursos de ensino médio e outras avaliações.

As razões e proporções são conceitos fundamentais da matemática utilizados especialmente para comparar grandezas, estabelecer relações entre valores e resolver diversos problemas práticos. Eles aparecem frequentemente em questões de concursos voltados para o Ensino Médio e são essenciais para a compreensão de grandezas proporcionais, escalas, velocidades, entre outros.

Conceito de Razão

Razão é a relação entre dois números ou medidas de mesma grandeza, expressa pelo quociente a/b, sendo b diferente de zero. Lemos a razão como "a está para b". É uma forma de comparar quantidades.

Importância: As razões são essenciais para expressar comparações, proporções em escalas, velocidades, densidades, e outros fenômenos do cotidiano.

Exemplos de razão:

• A razão entre as idades das irmãs Beatriz e Fernanda pode ser 2/3, mostrando que para cada 2 anos de Beatriz, Fernanda tem 3 anos.
• Escalas em mapas, como 1:200, que indica que 1 cm no mapa corresponde a 200 cm na realidade.
• Velocidade média, que é a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto.

Conceito de Proporção

Proporção é a igualdade entre duas razões: a/b = c/d, onde b e d são diferentes de zero. Lemos essa proporção como “a está para b, assim como c está para d”.

Relevância: Proporções aparecem em diversas situações, como escalas, divisões proporcionais, e regras de três para resolver problemas.

Propriedades das Proporções

Uma das propriedades mais importantes é a do produto dos meios igual ao produto dos extremos:

Produto cruzado:
a/b = c/d ⇔ a·d = b·c

Outras propriedades úteis:

Aplicações das Razões e Proporções

Razões no dia a dia

• Escala: Relação entre o tamanho do desenho e o tamanho real.
• Densidade demográfica: Razão entre população e área do território.
• Velocidade média: Distância dividida pelo tempo.
• Vazão: Quantidade de fluido que passa por uma seção por unidade de tempo.

Exemplo prático de escala:

Miniatura com escala 1:200 indica que 1 cm da miniatura corresponde a 200 cm (2 m) no objeto real. Uma miniatura de 7 cm representa um objeto de 14 m.

Exemplo de velocidade média (recorde de Usain Bolt):

Ele percorreu 100 metros em 9,58 segundos.

Cálculo:

Vm = d / t = 100 m / 9,58 s ≈ 10,44 m/s

Convertendo para km/h: 10,44 × 3,6 = 37,58 km/h (aproximadamente).

Exemplo de vazão:

Uma torneira enche um balde de 12 litros em 30 minutos.

Vazão = volume / tempo = 12 L / 30 min = 0,4 L/min

Ou:

12 L / (1/2 h) = 24 L/h

Grandezas Proporcionais

Grandezas Diretamente Proporcionais

Duas grandezas são diretamente proporcionais se o quociente entre elas é constante, ou seja, y = k·x onde k > 0.

Exemplo: Preço da gasolina variando conforme a quantidade comprada.

Calculando para 17 litros: 4 × 17 = R$ 68,00

Grandezas Inversamente Proporcionais

Duas grandezas são inversamente proporcionais se o produto entre elas é constante, ou seja, y = k/x ou x·y = k, k > 0.

Exemplo clássico: Vazão e tempo para encher um reservatório. Se a vazão dobra, o tempo para encher reduz à metade.

Em todos os casos o produto Vazão × Tempo = 12.000 (capacidade da piscina em litros).

Divisão Proporcional

A divisão proporcional serve para dividir um número em partes que estejam em certa razão, podendo essas razões ser direta ou inversamente proporcionais.

Divisão Diretamente Proporcional

Dividir N em partes proporcionais a a, b, c significa determinar x, y, z tais que:

• (x,y,z) é diretamente proporcional a (a,b,c)
• x + y + z = N

As partes são dadas por:

x = (a/(a+b+c))·N, y = (b/(a+b+c))·N, z = (c/(a+b+c))·N

Divisão Inversamente Proporcional

Se a divisão é inversamente proporcional, as partes são calculadas a partir:

ax = by = cz = k e x + y + z = N

Então:

x = k/a, y = k/b, z = k/c, onde k = N / (1/a + 1/b + 1/c)

Exemplo:

João tem 120 bombons e quer dividir em partes proporcionais às idades dos filhos: 3, 4 e 5 anos.

A/B/C são as partes para cada filho.

Calculamos k = 120 / (3 + 4 + 5) = 10

Assim:

A = 3·10 = 30, B = 4·10 = 40, C = 5·10 = 50 bombons.

Regra de Três

Um método prático para resolver problemas envolvendo razões e proporções. Pode ser simples ou composta.

Regra de Três Simples

Utilizada quando há duas grandezas relacionadas, e queremos encontrar um quarto valor.

Passos:

1. Identificar as grandezas.
2. Determinar se são diretamente ou inversamente proporcionais.
3. Montar a proporção.
4. Resolver a equação.

Exemplo:

Um trem que percorre um trajeto em 3 horas a 400 km/h, em quanto tempo faria a 480 km/h?

Velocidade e tempo são inversamente proporcionais.

Montamos a proporção invertendo uma razão:

480/400 = 3/x → 480x = 1200 → x = 2,5 horas.

Regra de Três Composta

Usada quando há três ou mais grandezas relacionadas.

Passos:

1. Identificar as grandezas.
2. Organizar os dados em tabela.
3. Determinar a proporcionalidade entre cada grandeza e a incógnita.
4. Montar a proporção combinando as razões.
5. Resolver a equação.

Exemplo:

Ciclista percorre 150 km em 4 dias, pedalando 3 horas por dia. Em quantos dias percorreria 400 km pedalando 4 horas por dia?

Grandezas: dias, distância e horas por dia.

Distância é diretamente proporcional aos dias, horas são inversamente proporcionais.

Montamos a proporção invertendo a razão das horas (inversamente proporcionais):

4/x = (150/400) · (4/3)

4/x = (3/8) · (4/3) = 1/2

4/x = 1/2 → 4·2 = x → x = 8 dias.

DICAS E BIZUS

• Ordem importa na razão: “a está para b” não é o mesmo que “b está para a”.
• Produto cruzado: Sempre que encontrar uma proporção, multiplique cruzado para resolver mais facilmente.
• Grandezas inversamente proporcionais: Inverter uma razão para montar a proporção corretamente.
• Cuidado com unidades de medida: Tenha sempre atenção para converter valores para a mesma unidade antes de calcular.
• Se necessário, montar tabelas: Facilita a visualização e o entendimento das relações das grandezas.

EXERCÍCIOS

1. Determine a razão entre os números: a) 12 e 48; b) 60 e 20; c) 5 e 2,25.
2. Verifique se as razões 14/35 e 20/100 são iguais.
3. Um produto custa R$ 24,00 para ser fabricado e é vendido por R$ 38,00. Calcule: a) razão entre preço de venda e preço de custo; b) razão entre lucro e preço de venda.
4. Calcule o valor de x nas proporções: a) (x + 1)/x = 2/3; b) (3x - 1)/4 = 2/5.
5. Uma loja vendeu 2/5 de um tecido e depois 5/12 do restante. O que sobrou foi vendido por R$ 1.400,00 a R$ 5,00 o metro. Qual o comprimento inicial do tecido?
6. Divida o número 250 em partes diretamente proporcionais a 15, 9 e 6.
7. Divida o número 160 em partes inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 5.
8. Um ciclista percorre 150 km em 4 dias, pedalando 3 horas por dia. Quantos dias levará para percorrer 400 km, pedalando 4 horas por dia?
9. Um trem faz um percurso em 3 horas a 400 km/h. Em quanto tempo fará o percurso a 480 km/h?
10. Um remédio é administrado na dosagem de 5 gotas para cada 2 kg de peso. Quantas gotas devem ser dadas a uma criança de 12 kg?

Resoluções

1. a) 12/48 = 1/4
   b) 60/20 = 3
   c) 5/2,25 = 20/9 (multiplica numerador e denominador por 4)
2. 14/35 = 2/5; 20/100 = 1/5 - Não são iguais.
3. a) Preço venda/preço custo = 38/24 = 19/12
   b) Lucro = 38 - 24 = 14; razão lucro/preço venda = 14/38 = 7/19
4. a) (x + 1)/x = 2/3 → 3(x + 1) = 2x → 3x + 3 = 2x → x = -3
   b) (3x - 1)/4 = 2/5 → 5(3x -1) = 8 → 15x -5 = 8 → 15x = 13 → x = 13/15
5. Sobrou (1 - 2/5) = 3/5, depois vendeu 5/12 do restante.
   Volume inicial = L
   Sobrou para vender: (1 - 2/5 - 5/12 × 3/5) = 1 - 0,4 - (5/12 × 0,6) = 0,4 - 0,25 = 0,15 do tecido.
   Venda = 0,15 L × 5 reais = 1.400 → L = 1.400 / 0,75 = 1.866,67 metros (aprox.) (corrigido na solução para considerar preço metro)
6. 250/ (15+9+6) = 250/30 = 8,33
   Partes: 15×8,33=125, 9×8,33=75, 6×8,33=50
7. Além da soma inversa:
   k/(2) + k/(3) + k/(5) = 160 → k × (1/2 + 1/3 + 1/5) = 160
   1/2 = 0,5, 1/3 = 0,333..., 1/5 = 0,2 → Soma = 1,0333
   k = 160 / 1,0333 = 154,87 (aproximadamente)
   Divisão:
   154,87/2=77,43; 154,87/3=51,62; 154,87/5=30,97
8. Diretamente proporcional: dias ↑ distância
   Inversamente proporcional: dias ↓ horas/dia
   Assim: 4/x = (150/400) × (4/3)
   4/x = (3/8) × (4/3) = 1/2
   x = 8 dias
9. Inversamente proporcionais:
   Montar proporção: 400/480 = x/3 → x = 2,5 h
10. Diretamente proporcional:
    5 gotas para 2kg → x gotas para 12kg
    5/2 = x/12 → x = 30 gotas

Resumo

Razões expressam a relação entre dois valores da mesma grandeza, enquanto proporções são igualdades entre duas razões. Compreender e aplicar as propriedades das proporções permite resolver problemas clássicos da matemática, facilitando cálculos envolvendo escalas, velocidades, densidades e muito mais.

As grandezas devem ser previamente classificadas como diretamente ou inversamente proporcionais, pois isso impacta diretamente na forma de montar as proporções, principalmente em regras de três simples e compostas — ferramentas essenciais para resolver problemas práticos andres finais. Além disso, a divisão proporcional é fundamental para distribuir valores conforme relações estabelecidas.

Finalmente, atenção às unidades de medida e à ordem dos termos nas razões evita erros comuns e otimiza o aprendizado.

Juros simples é um conceito fundamental da matemática financeira que trata do rendimento obtido sobre um capital inicial, ao longo do tempo, calculado somente sobre esse valor inicial (capital), sem que os juros anteriores sejam incorporados ao cálculo dos novos juros.

Entender os juros simples é essencial para quem deseja avaliar empréstimos, financiamentos, investimentos e qualquer operação financeira que considere a remuneração do capital aplicado ou emprestado. Este conhecimento desenvolve um pensamento crítico e consciente sobre o uso do dinheiro e seus retornos ao longo do tempo.

Conceitos básicos da matemática financeira

Para compreender os juros simples, precisamos dominar algumas terminologias:

Cálculo dos juros simples

O juro simples é calculado apenas sobre o capital inicial, conforme a fórmula:

J = C × i × t

Onde:

• J = juros
• C = capital
• i = taxa de juros (em forma decimal, por exemplo, 0,005 para 0,5%)
• t = tempo (nas mesmas unidades da taxa de juros)

O montante final é dado pela soma do capital e dos juros:

M = C + J

Exemplo prático

Carlos aplicou R$ 8.000,00 a uma taxa de juros simples de 0,5% ao mês durante 6 meses. Qual será o montante?

Passo 1: Calcular os juros:

J = 8.000 × 0,005 × 6 = R$ 240,00

Passo 2: Calcular o montante:

M = 8.000 + 240 = R$ 8.240,00

Portanto, após 6 meses, Carlos terá R$ 8.240,00.

Aplicação prática mês a mês

Podemos entender o processo mês a mês, somando R$ 40,00 (0,5% de 8.000) a cada mês:

Dicas para resolver problemas de juros simples

• Converta sempre a taxa de juros para a forma decimal antes de calcular (por exemplo, 0,5% = 0,005).
• Certifique-se de que o tempo e a taxa de juros estejam na mesma unidade (meses, anos, dias).
• Lembre-se: os juros são sempre calculados sobre o capital inicial, não sobre o montante acumulado.
• Use a fórmula J = C × i × t para encontrar os juros e, em seguida, calcule o montante somando juros e capital.

Exemplos de questões típicas para concursos

Exemplo 1

Um investidor aplica R$ 1.000,00 a juros simples de 1% ao mês. Qual o montante após 10 meses?

Solução:

J = 1000 × 0,01 × 10 = R$ 100,00

M = 1000 + 100 = R$ 1.100,00

Exemplo 2

Qual a taxa mensal de juros simples se, após 5 meses, um capital de R$ 2.000,00 produz R$ 150,00 de juros?

Solução:

J = C × i × t → 150 = 2000 × i × 5 → 150 = 10.000 × i

i = 150 / 10.000 = 0,015 = 1,5% ao mês

Exemplo 3

Se uma dívida de R$ 5.000,00 acumulou R$ 450,00 de juros em 9 meses, qual era a taxa de juros simples mensal?

Solução:

J = C × i × t → 450 = 5.000 × i × 9 → 450 = 45.000 × i

i = 450 / 45.000 = 0,01 = 1% ao mês

Questão de prova com Cálculo de Montante e Comparação de Investimentos

Um jovem investidor aplica R$ 500,00 por 1 mês em dois tipos de investimento:

• Poupança: rendimento de 0,56% ao mês e sem imposto de renda.
• CDB: rendimento de 0,876% ao mês, com desconto de 4% de imposto de renda sobre o ganho.

Qual investimento é mais vantajoso para ele?

Resolução:

Poupança: J = 500 × 0,0056 × 1 = R$ 2,80 → Montante = 500 + 2,80 = R$ 502,80

CDB: J = 500 × 0,00876 × 1 = R$ 4,38 → Imposto = 4% de 4,38 = 0,1752

Montante = 500 + 4,38 – 0,1752 = R$ 504,2048

Conclusão: O CDB é mais vantajoso, pois apresenta maior montante.

Resumo das fórmulas fundamentais

Exercícios

1. Um capital de R$ 12.000 é aplicado a uma taxa de juros simples de 0,8% ao mês. Qual o montante após 9 meses?
2. Calcule o juro obtido investindo R$ 3.000,00 a 1,2% ao mês durante 5 meses.
3. Uma pessoa emprestou R$ 2.500,00 e recebeu R$ 2.650,00 após 4 meses. Qual a taxa mensal de juros simples?
4. Qual o capital inicial que, aplicado a juros simples de 1% ao mês durante 7 meses, gera um juro de R$ 280,00?
5. Se uma aplicação de R$ 4.000 a 0,9% ao mês rendeu R$ 216,00 de juros, quanto tempo o investimento ficou aplicado?
6. Um financiamento de R$ 18.000,00 foi pago em 12 meses com juros simples de 1,5% ao mês. Calcule o montante pago.
7. Determine o tempo necessário para que R$ 7.000,00 gerem R$ 490,00 de juros a uma taxa de 2% ao mês.
8. Compare o montante de uma aplicação de R$ 5.000,00 a 0,75% ao mês após 10 meses com o montante de uma aplicação de R$ 6.000,00 a 0,6% ao mês no mesmo período. Qual é maior?
9. Um investidor recebe R$ 360,00 de juros após aplicar R$ 9.000,00 a uma determinada taxa mensal durante 6 meses. Qual é essa taxa?
10. Explique com suas palavras a diferença entre juros simples e juros compostos e cite um exemplo prático de cada um.

Resolução dos exercícios

1. J = 12.000 × 0,008 × 9 = 864; M = 12.000 + 864 = R$ 12.864,00
2. J = 3.000 × 0,012 × 5 = R$ 180,00
3. J = 2.650 – 2.500 = 150; 150 = 2.500 × i × 4 → i = 150 / 10.000 = 0,015 = 1,5% ao mês
4. 280 = C × 0,01 × 7 → C = 280 / 0,07 = R$ 4.000,00
5. 216 = 4.000 × 0,009 × t → t = 216 / (4.000 × 0,009) = 216 / 36 = 6 meses
6. J = 18.000 × 0,015 × 12 = 3.240; M = 18.000 + 3.240 = R$ 21.240,00
7. 490 = 7.000 × 0,02 × t → t = 490 / (7.000 × 0,02) = 490 / 140 = 3,5 meses
8. Montante 1: J = 5.000 × 0,0075 × 10 = 375; M = 5.000 + 375 = R$ 5.375,00
   Montante 2: J = 6.000 × 0,006 × 10 = 360; M = 6.000 + 360 = R$ 6.360,00
   Maior montante: segunda aplicação.
9. 360 = 9.000 × i × 6 → i = 360 / (9.000 × 6) = 360 / 54.000 = 0,0067 = 0,67% ao mês
10. Juros simples são calculados sempre sobre o capital inicial, sem capitalização dos juros anteriores, muito utilizado em empréstimos e financiamentos simples. Exemplo: um empréstimo onde se paga uma taxa fixa sobre o valor inicial a cada mês.
    Juros compostos são calculados sobre o capital inicial somado aos juros acumulados dos períodos anteriores, muito comum em investimentos e financiamentos de longo prazo. Exemplo: uma aplicação bancária em que os juros são incorporados ao capital aumentando o rendimento futuro.

Resumo

Neste capítulo, aprendemos que os juros simples consistem no acréscimo calculado sobre o capital inicial, com uma taxa fixa durante um determinado tempo, sem capitalizar os juros ganhos. A fórmula J = C × i × t é a base para resolver a maioria das questões, e o montante é obtido somando-se o capital aos juros: M = C + J.

É fundamental garantir que a taxa e o tempo estejam na mesma unidade e que a taxa seja convertida para decimal antes dos cálculos. Também vimos como comparação de investimentos pode ser realizada por meio do cálculo do montante em juros simples.

Com a prática dos exercícios, o aluno pode consolidar o domínio do tema, o que é de grande importância para provas de concursos focadas em matemática financeira básica.

Os sistemas de equações simples são conjuntos de duas ou mais equações que envolvem duas ou mais incógnitas. Seu principal objetivo é encontrar valores que satisfazem todas essas equações simultaneamente, ou seja, determinar o conjunto das soluções que tornam verdadeiras todas as sentenças do sistema.

Estes sistemas são fundamentais no estudo da álgebra e amplamente aplicados em diversas áreas, como economia, engenharia e resolução de problemas cotidianos, tornando-se essenciais para quem se prepara para concursos, especialmente os que exigem conhecimentos básicos de matemática do ensino médio.

O que é um sistema de equações?

Um sistema de equações é um conjunto formado geralmente por duas ou mais equações que simultaneamente envolvem duas ou mais incógnitas (variáveis). Por exemplo, um sistema linear de duas equações com duas incógnitas x e y tem a forma:

O objetivo é encontrar os valores de x e y que satisfaçam as duas equações simultaneamente.

Importância e aplicações

Conhecer e saber resolver sistemas de equações lineares é crucial para solucionar problemas práticos, como cálculo de orçamentos, divisão proporcional, misturas e outras situações que envolvem relações matemáticas entre duas ou mais quantidades.

Formas de resolver sistemas de equações

Existem diversos métodos para resolver sistemas lineares simples, sendo os mais comuns os seguintes:

Método da Substituição

Consiste em isolar uma variável em uma das equações e substituí-la na outra, de modo a obter uma equação com uma única incógnita.

Exemplo:

Considere o sistema:

Passo 1: Isolamos y na segunda equação:

( 2x - y = 4 Rightarrow y = 2x - 4 )

Passo 2: Substituímos ( y ) na primeira equação:

( 3x + (2x - 4) = 10 Rightarrow 5x - 4 = 10 Rightarrow 5x = 14 Rightarrow x = frac{14}{5} = 2,8 )

Passo 3: Substituímos ( x ) no valor isolado para encontrar y:

( y = 2(2,8) - 4 = 5,6 - 4 = 1,6 )

Portanto, a solução do sistema é ( (x, y) = (2,8; 1,6) ).

Método da Adição (ou Eliminação)

Consiste em multiplicar as equações por números adequados para que, ao somá-las, uma incógnita seja eliminada, permitindo a resolução da outra.

Exemplo:

Considere o sistema:

Somando as duas equações membro a membro:

( (5x + 3x) + (2y - 2y) = 20 + 10 Rightarrow 8x = 30 Rightarrow x = frac{30}{8} = 3,75 )

Substituindo ( x ) em uma das equações para encontrar ( y ):

Usando a segunda equação:

( 3(3,75) - 2y = 10 Rightarrow 11,25 - 2y = 10 Rightarrow -2y = -1,25 Rightarrow y = frac{1,25}{2} = 0,625 )

A solução do sistema é ( (x, y) = (3,75; 0,625) ).

Método da Comparação

Neste método, isolamos a mesma incógnita nas duas equações e igualamos as expressões encontradas. Assim, obtemos uma equação com uma única variável para resolver.

Exemplo:

Para o sistema:

Isolamos ( y ) em ambas as equações:

( y = 4x - 7 ) (da primeira) e ( y = 3 - 2x ) (da segunda)

Igualando:

( 4x - 7 = 3 - 2x Rightarrow 4x + 2x = 3 + 7 Rightarrow 6x = 10 Rightarrow x = frac{10}{6} = frac{5}{3} )

Substituindo ( x ) para obter ( y ):

( y = 4cdot frac{5}{3} - 7 = frac{20}{3} - 7 = frac{20 - 21}{3} = -frac{1}{3} )

Assim, a solução é ( (x, y) = left( frac{5}{3}, -frac{1}{3} ight) ).

Classificação dos sistemas de equações

Quanto à existência e quantidade de soluções, os sistemas lineares podem ser classificados em:

Exemplos de cada tipo

1. SPD:

( egin{cases} x + y = 5 \ 2x - y = 1 end{cases} )

Resolvendo, encontra-se uma única solução.

2. SPI:

( egin{cases} 2x + y = 6 \ 4x + 2y = 12 end{cases} )

A segunda equação é múltipla da primeira, resultando em infinitas soluções.

3. SI:

( egin{cases} x + y = 3 \ x + y = 5 end{cases} )

As duas equações são contraditórias; não há solução.

Dicas importantes para a resolução de sistemas

• Escolha do método: O método da substituição é recomendável quando uma variável está facilmente isolada.
• Multiplicação estratégica: No método da adição, escolha multiplicadores que causem a eliminação rápida de uma incógnita.
• Verifique as soluções: Após encontrar os valores, substitua nas duas equações para confirmar que satisfazem ambas.
• Classifique o sistema antes de resolver: Identificar se o sistema é SPD, SPI ou SI ajuda a direcionar melhor a solução.

Exercícios

1. Resolva o sistema pelo método da substituição:
   ( egin{cases} 3x + y = 7 \ x - 2y = 4 end{cases} )
2. Resolva pelo método da adição:
   ( egin{cases} 2x + 3y = 12 \ 4x - 3y = 6 end{cases} )
3. Utilize o método da comparação para resolver:
   ( egin{cases} 5x + 2y = 20 \ 3x + 4y = 22 end{cases} )
4. Classifique o sistema e resolva, se possível:
   ( egin{cases} 4x + 2y = 10 \ 8x + 4y = 20 end{cases} )
5. Determine o conjunto verdade do sistema:
   ( egin{cases} x + y = 4 \ 2x + 2y = 10 end{cases} )
6. Resolva o problema:
   Um pai tem 40 anos e seu filho tem 10 anos. Daqui a quantos anos a soma das idades deles será 70?
7. Obtenha dois números sabendo que o dobro de um somado ao triplo do outro é 35, e que o triplo do primeiro é igual ao dobro do segundo aumentado de 5.
8. Um retângulo tem perímetro 24cm. Sabendo que o comprimento é o dobro da largura, calcule as medidas dos lados.
9. Um vendedor vendeu 15 camisas e 10 calças, faturando R$ 650,00. Se cada camisa custa R$ 30,00, qual o preço de cada calça?
10. Em uma sala, há 12 pessoas. Algumas estão de pé e outras sentadas. Se o número de pessoas em pé é o dobro do número sentado, quantas pessoas estão em pé e quantas estão sentadas?

Respostas comentadas

1. Isolando x na segunda equação:
( x = 4 + 2y ). Substituindo na primeira:
( 3(4+2y) + y =7 Rightarrow 12 + 6y + y = 7 Rightarrow 7y = -5 Rightarrow y = -frac{5}{7} ).
Logo, ( x = 4 + 2left(-frac{5}{7} ight) = 4 - frac{10}{7} = frac{18}{7} ).

2. Somando as equações:
( 2x+3y + 4x -3y = 12+6 Rightarrow 6x =18 Rightarrow x=3 ).
Substituindo: ( 2(3)+3y=12 Rightarrow 6 + 3y = 12 Rightarrow y=2 ).

3. Isolando ( y ):
Da primeira: ( y = frac{20-5x}{2} ); da segunda: ( y = frac{22-3x}{4} ).
Igualando: ( frac{20-5x}{2} = frac{22-3x}{4} Rightarrow 2(20-5x)=22-3x Rightarrow 40 -10x =22 -3x Rightarrow -10x +3x = 22 -40 Rightarrow -7x = -18 Rightarrow x= frac{18}{7} ).
Substituindo para y: ( y = frac{22 - 3(18/7)}{4} = frac{22 - 54/7}{4} = frac{154/7 - 54/7}{4} = frac{100/7}{4} = frac{100}{28} = frac{25}{7} ).

4. Multiplicando a primeira equação por 2:
( 8x + 4y = 20 ), que é idêntica à segunda.
Logo, sistema possível e indeterminado (infinitas soluções).

5. Multiplicando a primeira equação por 2:
( 2x + 2y = 8 ) versus ( 2x + 2y = 10 ): sistema impossível, pois as equações contradizem-se.

6. Definimos ( x ) a quantidade de anos que se passa. Temos que:

Idade pai: ( 40 + x )

Idade filho: ( 10 + x )

Equação:

( (40 + x) + (10 + x) = 70 Rightarrow 50 + 2x = 70 Rightarrow 2x = 20 Rightarrow x = 10 )

Resposta: daqui a 10 anos.

7. Definindo ( x ) e ( y ) os dois números:

( 2x + 3y = 35 )

( 3x = 2y + 5 )

Da segunda, ( x = frac{2y + 5}{3} ). Substituindo na primeira:

( 2cdot frac{2y + 5}{3} + 3y = 35 Rightarrow frac{4y + 10}{3} + 3y = 35 Rightarrow 4y + 10 + 9y = 105 Rightarrow 13y = 95 Rightarrow y = frac{95}{13} = 7,31 ).

Substituindo para x:
( x = frac{2(7,31) + 5}{3} = frac{14,62 + 5}{3} = frac{19,62}{3} = 6,54 ).

8. Perímetro ( P = 2(l + c) = 24 ). Comprimento ( l = 2c ).

Substituindo: ( 2(2c + c) = 24 Rightarrow 2(3c) = 24 Rightarrow 6c = 24 Rightarrow c = 4 ).

Logo, ( l = 8 ) cm, e ( c = 4 ) cm.

9. Seja o preço da calça ( y ) reais. O faturamento:

( 30 cdot 15 + y cdot 10 = 650 Rightarrow 450 + 10y = 650 Rightarrow 10y = 200 Rightarrow y = 20 )

Assim, cada calça custa R$ 20,00.

10. Seja ( x ) o número de pessoas sentadas e ( y ) as que estão de pé:

( x + y = 12 )

( y = 2x )

Substituindo ( y ):

( x + 2x = 12 Rightarrow 3x = 12 Rightarrow x = 4 ), e ( y = 8 ).

Resumo

Os sistemas de equações simples envolvem equações com duas ou mais incógnitas e são resolvidos por métodos que reduzem as variáveis para obter soluções. Os principais métodos são substituição, adição e comparação, cada um adequado para diferentes tipos de sistemas. É essencial compreender a classificação dos sistemas (possible e determinado, possível e indeterminado, impossível) para interpretar as soluções corretamente. Com prática e atenção, qualquer problema pode ser traduzido em um sistema e resolvido para encontrar valores desconhecidos que respondem a perguntas reais.

As equações do 2º grau são fundamentais na matemática e frequentemente aparecem em concursos públicos, especialmente para candidatos do ensino médio. Dominar esse assunto é essencial para resolver problemas algébricos que envolvem relações quadráticas e entender o comportamento de funções importantes.

O que é uma Equação do 2º Grau?

Denomina-se equação do segundo grau qualquer sentença matemática que pode ser escrita na forma geral:

ax² + bx + c = 0

onde x é a incógnita, e a, b e c são números reais, sendo a ≠ 0. O maior expoente da incógnita é 2, o que caracteriza a equação como do segundo grau.

Relevância: as equações do 2º grau aparecem em diversas situações, desde problemas geométricos, física, economia, e também tarefas cotidianas. Saber resolvê-las e interpretar as raízes é indispensável para a resolução ágil de questões em provas.

Classificação: Equações Completas e Incompletas

Nem sempre todos os coeficientes estão presentes na equação:

Resolução das Equações do 2º Grau

Resolver uma equação do segundo grau significa encontrar os valores reais de x que satisfazem a equação — chamadas de raízes.

Fórmula Geral (Fórmula de Bhaskara)

A fórmula mais conhecida para encontrar as raízes da equação ax² + bx + c = 0 é a fórmula de Bhaskara:

x = frac{-b pm sqrt{Delta}}{2a}

onde Δ (discriminante) é dado por:

Delta = b^2 - 4ac

O discriminante indica a natureza das raízes:

Dica: Antes de aplicar a fórmula geral, calcule o discriminante para identificar rapidamente o número e tipo de raízes.

Resolução de Equações Incompletas

1. Caso b = 0 (ax² + c = 0)

Isolando o termo quadrático:

ax² = -c

e depois:

x² = -c/a

Se -c/a > 0, então as raízes são:

x = ±√(-c/a)

Se -c/a < 0, não existem raízes reais.

Exemplos:

• x² - 25 = 0  ⇒ x² = 25  ⇒ x = ±5
• 2x² - 18 = 0 ⇒ x² = 9   ⇒ x = ±3
• x² + 25 = 0  ⇒ x² = -25 ⇒ raízes complexas

2. Caso c = 0 (ax² + bx = 0)

Fatorando o x:

x(ax + b) = 0

Logo, as raízes são:

• x = 0
• ax + b = 0 ⇒ x = -b/a

Uma raiz será sempre zero.

Exemplos:

• x² - 5x = 0 ⇒ x(x - 5) = 0 ⇒ x = 0 ou x = 5
• 3x² - 10x = 0 ⇒ x(3x - 10) = 0 ⇒ x = 0 ou x = 10/3

3. Caso b = 0 e c = 0 (ax² = 0)

A única raiz é x = 0.

Exemplos Práticos de Resolução

Exemplo 1: Equação Completa

Encontre as raízes de 2x² - 6x - 56 = 0

Calculando o discriminante:

Δ = (-6)² - 4·2·(-56) = 36 + 448 = 484

Como Δ > 0, existem duas raízes reais e distintas:

x = [6 ± √484] / 4 = [6 ± 22] /4

• x' = (6 + 22)/4 = 28/4 = 7
• x''= (6 - 22)/4 = (-16)/4 = -4

Resposta: Raízes são -4 e 7.

Exemplo 2: Equação Incompleta com b=0

Resolver x² - 25 = 0

Devemos isolar o termo:

x² = 25 ⇒ x = ±5

Resposta: Raízes -5 e 5.

Exemplo 3: Equação Incompleta com c=0

Resolver 3x² - 4x = 0

Fatorando:

x(3x - 4) = 0 ⇒ x = 0 ou 3x - 4 =0 ⇒ x = 4/3

Resposta: Raízes 0 e 4/3.

Resolução Passo a Passo da Fórmula de Bhaskara

Dicas e Observações Importantes

• Lembre-se: a deve ser diferente de zero para que seja uma equação do 2º grau.
• Ao calcular a raiz quadrada do discriminante, considere sempre o símbolo ± para encontrar as duas soluções.
• Para as equações incompletas, o uso da fatoração pode simplificar bastante a resolução.
• Caso o discriminante seja negativo, a equação não possui raízes reais, mas sim complexas. Em concursos focados no ensino médio, comumente apenas as raízes reais são solicitadas.
• Fique atento a manipulação algébrica para evitar erros na hora de isolar a incógnita.
• Verifique sempre se a equação está no formato ax² + bx + c = 0 antes de aplicar fórmulas.

Exercícios para Fixação

1. Resolva a equação: x² - 5x + 6 = 0
2. Resolva a equação: x² - 8x + 12 = 0
3. Resolva a equação: x² + 2x - 8 = 0
4. Resolva a equação: x² - 5x + 8 = 0
5. Resolva a equação: 2x² - 8x + 8 = 0
6. Resolva a equação incompleta: x² - 25 = 0
7. Resolva a equação incompleta: 3x² - 4x = 0
8. Determine as raízes da equação: -x² + x + 12 = 0
9. Resolva a equação: 6x² + x - 1 = 0
10. Calcule as raízes da equação: 4x² + 9 = 12x

Resolução dos Exercícios

1. x² - 5x + 6 = 0

Δ = (-5)² - 4·1·6 = 25 - 24 = 1

x = [5 ± 1]/2

x' = 3; x'' = 2

2. x² - 8x + 12 = 0

Δ = 64 - 48 = 16

x = [8 ± 4]/2

x' = 6; x'' = 2

3. x² + 2x - 8 = 0

Δ = 4 + 32 = 36

x = [-2 ± 6]/2

x' = 2; x'' = -4

4. x² - 5x + 8 = 0

Δ = 25 - 32 = -7

Δ < 0 → não tem raízes reais

5. 2x² - 8x + 8 = 0

Δ = 64 - 64 = 0

x = 8/ (2·2) = 2

Raíz única: x = 2

6. x² - 25 = 0

x² = 25

x = ±5

7. 3x² - 4x = 0

x(3x - 4) = 0

x = 0 ou x = 4/3

8. -x² + x + 12 = 0

Multiplica por -1 para facilitar: x² - x - 12 = 0

Δ = 1 + 48 = 49

x = [1 ± 7]/2

x' = 4; x'' = -3

9. 6x² + x - 1 = 0

Δ = 1 + 24 = 25

x = [-1 ± 5]/12

x' = 4/12 = 1/3; x'' = -6/12 = -1/2

10. 4x² + 9 = 12x

Rearranje: 4x² - 12x + 9 = 0

Δ = 144 - 144 = 0

x = 12/(2·4) = 12/8 = 3/2

Resumo

As equações do 2º grau são expressas por ax² + bx + c = 0 com a ≠ 0. Elas podem ser completas (quando b e c são diferentes de zero) ou incompletas (quando b e/ou c são zero).

A fórmula de Bhaskara é a ferramenta principal para calcular as raízes, que dependem do valor do discriminante Δ = b² - 4ac.

O discriminante indica o tipo e número de raízes reais que a equação possui:

• Δ > 0: duas raízes reais distintas
• Δ = 0: duas raízes reais iguais
• Δ < 0: sem raízes reais

Para equações incompletas, métodos simplificados aplicam-se, utilizando fatoração e raízes quadradas simples.

Praticar a resolução das equações diversas e compreender a importância do discriminante são essenciais para o domínio do assunto.

A progressão aritmética (PA) é uma sequência numérica na qual cada termo, a partir do segundo, é obtido somando-se um número fixo, denominado razão, ao termo imediatamente anterior. Essa característica torna a PA um conceito fundamental na matemática, sobretudo para estudantes do ensino médio que se preparam para concursos públicos, uma vez que é amplamente cobrada em provas.

O que é Progressão Aritmética?

Uma Progressão Aritmética é uma sequência ordenada de números em que a diferença entre termos consecutivos é constante. Essa diferença constante é a razão da PA.

Importância: O estudo das PAs é essencial para compreender problemas relacionados a crescimento linear, cálculos financeiros, planejamento de recursos, entre outras aplicações em concursos e no dia a dia.

Classificação de uma Progressão Aritmética

Dependendo da razão "r", a PA pode ser:

• Crescente: se r > 0;
• Decrescente: se r < 0;
• Constante: se r = 0.

Exemplos:

• PA crescente: 2, 5, 8, 11, ... (razão r = 3)
• PA decrescente: 10, 7, 4, 1, ... (razão r = -3)
• PA constante: 4, 4, 4, 4, ... (razão r = 0)

Representação Matemática e Cálculo da Razão

Dados termos consecutivos a_n e a_n-1, a razão é calculada por:

r = a_n - a_n-1

Uma PA pode ser representada por:

a₁, a₁ + r, a₁ + 2r, ..., a₁ + (n-1)r

Fórmula do Termo Geral

Para encontrar o valor do n-ésimo termo de uma PA sem listar todos os anteriores, usa-se a fórmula:

a_n = a₁ + (n - 1)r

Onde:

• a_n: termo na posição n;
• a₁: primeiro termo;
• r: razão;
• n: posição do termo na sequência.

Exemplos

a) Determine o 10º termo da PA: 3, 6, 9, ...

Resposta: a₁₀ = 3 + (10-1) * 3 = 3 + 27 = 30

b) Identifique a razão e o termo geral da PA: 7, 4, 1, ...

Resposta:

• Razão: r = 4 - 7 = -3
• Termo geral: a_n = 7 + (n - 1)(-3) = 7 - 3n + 3 = 10 - 3n

Propriedades da Progressão Aritmética

1. Termo intermediário como média aritmética: todo termo, exceto os extremos, é a média dos seus termos vizinhos.
2. Termo médio em PA ímpar: numa PA com número ímpar de termos, o termo central é a média dos extremos.

Exemplo: Na PA 2, 4, 6, 8, 10 (5 termos), o termo médio é 6, que é a média entre 2 e 10.

Interpolação Aritmética

A interpolação consiste em inserir p meios aritméticos entre dois números dados para formar uma PA com todos os termos.

Fórmula para interpolação:

Se o primeiro termo é a e o último termo é b, e deseja-se inserir p termos entre eles, então o total de termos será n = p + 2, e a razão será:

r = (b - a) / (p + 1)

Exemplo: Interpolar 5 meios aritméticos entre 6 e 30.

Solução:

• Total de termos: 7 (5 meios + 2 extremos)
• Razão: r = (30 - 6) / 6 = 24 / 6 = 4
• Sequência: 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30

Fórmula da Soma dos Termos de uma PA Finita

Para somar os n termos de uma PA, utiliza-se a fórmula:

S_n = (n / 2) * (a₁ + a_n)

Onde S_n é a soma dos n termos.

Também pode ser expressa por:

S_n = (n / 2) * [2a₁ + (n - 1)r]

Exemplos

a) Calcular a soma dos 10 primeiros termos da PA 3, 6, 9, ...

• Primeiro termo: a₁ = 3
• Décimo termo: a₁₀ = 3 + (10 - 1)*3 = 30
• Quantidade de termos: n = 10
• Soma: S₁₀ = (10/2)(3 + 30) = 5 * 33 = 165

b) Calcule a soma dos múltiplos de 5 entre 20 e 100

• Primeiro termo: a₁ = 20
• Último termo: a_n = 100
• Razão: r = 5
• Quantidade de termos: n tal que a_n = a₁ + (n - 1)r = 100 → 20 + (n - 1)*5 = 100 → (n - 1) = 16 → n = 17
• Então, soma: S_n = (17/2)(20 + 100) = (17/2)(120) = 17 * 60 = 1020

Dicas e Observações Importantes

• Para descobrir a razão de uma PA, subtraia qualquer termo pelo seu antecessor.
• Jamais confundir a fórmula do termo geral com a soma dos termos; a primeira dá o valor de um termo específico, a segunda soma vários termos.
• O termo geral é fundamental para localizar termos distantes na sequência sem precisar escrever todos os anteriores.
• Para interpolar, lembre-se que os meios aritméticos são os termos inseridos entre os extremos.
• Em provas, formatos como "quantos termos?", "encontre o termo n" e "soma dos termos" são repetidos; dominar as fórmulas evita perda de tempo.

Exercícios

1. Determine a razão e classifique a PA: 15, 13, 11, 9, ...
2. Calcule o 20º termo da seguinte PA: 7, 11, 15, 19, ...
3. Um triângulo tem lados com medidas em PA: o primeiro é 5 cm e a razão é 3 cm. Calcule o perímetro do triângulo.
4. Insira 4 meios aritméticos entre 10 e 30.
5. Calcule a soma dos 15 primeiros termos da PA: 4, 7, 10, 13, ...
6. Determine quantos múltiplos de 4 existem entre 20 e 100.
7. Se o 5º termo de uma PA é 18 e o 12º termo é 39, qual é a razão dessa PA?
8. Sabendo que a soma dos 10 primeiros termos de uma PA é 220 e que o primeiro termo é 8, calcule a razão.
9. Calcule o valor de "x" para que os números 3, x, 11 estejam em PA.
10. Determinar a soma dos termos de uma PA onde a₁ = 2, razão r = 5 e número de termos n = 12.

Respostas

1. Razão: -2; PA decrescente.
2. a₂₀ = 7 + (20 - 1) * 4 = 7 + 76 = 83.
3. Lados: 5 cm, 8 cm, 11 cm; perímetro = 24 cm.
4. Pa com 6 termos: 10, 14, 18, 22, 26, 30.
5. S₁₅ = 15/2 * (4 + 46) = 7,5 * 50 = 375
6. Múltiplos de 4 entre 20 e 100: 21 termos (contando 20 e 100).
7. r = (39 - 18) / (12 - 5) = 21 / 7 = 3.
8. S₁₀ = 220; 220 = 10/2 * [2*8 + (10 - 1)r] → 220 = 5(16 + 9r) → 44 = 16 + 9r → r = 28 / 9 ≈ 3,11.
9. x está entre 3 e 11; deve satisfazer x - 3 = 11 - x → 2x = 14 → x = 7.
10. S₁₂ = 12/2 * [2*2 + (12 - 1)*5] = 6 * (4 + 55) = 6 * 59 = 354.

Resumo

Neste capítulo, estudamos a Progressão Aritmética (PA), sequência numérica de grande relevância para o ensino médio e concursos. Entendemos que a PA é caracterizada por uma razão constante entre seus termos consecutivos, o que permite sua classificação em crescente, decrescente ou constante.

Foi abordada a fórmula do termo geral, essencial para encontrar termos específicos sem precisar listá-los, além da fórmula da soma dos termos, útil para somas rápidas de sequências finitas. Também exploramos a interpolação aritmética, permitindo inserir termos entre dois números para formar uma PA completa.

Conhecer as propriedades das PAs facilita a resolução de questões mais complexas, enquanto os exercícios propostos consolidam a aplicação prática dos conceitos. Assim, dominar progressões aritméticas é fundamental para obter sucesso em avaliações e compreender fenômenos matemáticos de padrões lineares.

As equações do 1º grau com uma incógnita são expressões matemáticas que estabelecem uma relação de igualdade entre termos conhecidos e um termo desconhecido, representado por uma letra, geralmente x. Elas possuem a forma geral:

ax + b = 0

onde a e b são números reais, com a ≠ 0, e x é a incógnita que queremos descobrir.

Essas equações são fundamentais tanto na matemática pura quanto em diversas aplicações práticas do dia a dia, sendo frequentemente cobradas em concursos de nível médio por sua simplicidade e por exigir raciocínio lógico na resolução.

Conceito e Importância

Resolver uma equação do 1º grau significa encontrar o valor que atribuído à incógnita torna a sentença verdadeira.

É relevante porque serve de base para o entendimento de outros tipos de equações e problemas matemáticos, além de ser uma ferramenta essencial para raciocínio lógico e resolução de problemas matemáticos e cotidianos.

Resolução de Equações do 1º Grau

O objetivo ao resolver essas equações é isolar a incógnita em um dos lados da igualdade, deixando todos os termos numéricos do outro lado, garantindo que a igualdade permaneça verdadeira.

Para isso, vale a regra fundamental: Ao passar um termo de um lado para o outro da equação, deve-se inverter a operação. Por exemplo:

• Se o termo está somando, ao passar para o outro lado, subtrai-se.
• Se o termo está subtraindo, ao passar para o outro lado, soma-se.
• Se o termo está multiplicando, ao passar para o outro lado, divide-se.
• Se o termo está dividindo, ao passar para o outro lado, multiplica-se.

Vamos ver como isso é aplicado na prática:

Exemplos Práticos

Exemplo 1: Resolva a equação 2x + 8 = 0.

Isolamos o termo com x:

2x = -8 (passando +8 para o outro lado, passa a ser -8)

Em seguida, dividimos ambos os lados por 2:

x = -8 / 2

x = -4

Exemplo 2: Resolva a equação 8x - 3 = 5.

Passando -3 para o outro lado e invertendo a operação:

8x = 5 + 3

8x = 8

Dividindo por 8:

x = 8 / 8

x = 1

Exemplo 3: Resolva a equação 2x - 7 = 4x - 19.

Passando os termos com incógnita para um lado e os números para o outro:

2x - 4x = -19 + 7

-2x = -12

Multiplicando ambos os lados por -1 para deixar o coeficiente positivo:

2x = 12

Dividindo por 2:

x = 6

Dica importante:

Quando a variável ficar com coeficiente negativo, multiplique toda a equação por -1 para facilitar a resolução.

Resolvendo Problemas com Equações do 1º Grau

Para resolver problemas que descrevem situações do cotidiano, é fundamental representar as informações usando uma incógnita e montar uma equação que reflete a situação reportada.

Exemplo 4: Ana nasceu 8 anos depois de sua irmã Natália. Em um determinado momento, Natália tinha o triplo da idade de Ana. Qual era a idade de cada uma nessa época?

Definindo:

x = idade de Ana

Idade de Natália = x + 8 (pois nasceu 8 anos antes)

Expressando a condição do problema:

Natália tem o triplo da idade de Ana:

x + 8 = 3x

Resolvendo a equação:

x + 8 = 3x

8 = 3x - x

8 = 2x

x = 8 / 2

x = 4 (idade de Ana)

Idade de Natália = 4 + 8 = 12 anos

Resumo das Regras para Resolver Equações do 1º Grau

Exercícios para Fixação

1. Resolva a equação 20x - 60 = 5x.
2. Resolva a equação 4x = -8x + 36.
3. Calcule o valor de x na equação x × [1 + 2 × (3 - 1)] = 4x - 7.
4. Resolva a equação 6 (8x - 20) = 4 (10x - 4).
5. Seja a equação 3x + 5 = 2x + 9. Determine o valor de x.
6. Resolva a equação 7x - 3 = 4x + 6.
7. Quanto vale x na equação 5x + 9 = 2(3x + 7)?
8. Encontre o valor de x para a equação 2(x - 4) = 3x + 1.
9. Em uma loja, um produto tem preço inicial de R$ 50,00. Com o desconto de R$ 10 aplicado, o preço é representado pela equação 50 - x = 40. Qual é o valor do desconto x?
10. Determine x para 8x - 4 = 2x + 20.

Resolução dos Exercícios

1. 20x - 60 = 5x

20x - 5x = 60

15x = 60

x = 60 / 15 = 4

Resposta: x = 4

2. 4x = -8x + 36

4x + 8x = 36

12x = 36

x = 36 / 12 = 3

Resposta: x = 3

3. x × [1 + 2 × (3 - 1)] = 4x - 7

Calculando o que está dentro do colchete:

1 + 2 × (3 - 1) = 1 + 2 × 2 = 1 + 4 = 5

Logo,

5x = 4x - 7

Subtraindo 4x de ambos os lados:

5x - 4x = -7

x = -7

Resposta: x = -7

4. 6 (8x - 20) = 4 (10x - 4)

Expandindo:

48x - 120 = 40x - 16

48x - 40x = -16 + 120

8x = 104

x = 104 / 8 = 13

Resposta: x = 13

5. 3x + 5 = 2x + 9

3x - 2x = 9 - 5

x = 4

Resposta: x = 4

6. 7x - 3 = 4x + 6

7x - 4x = 6 + 3

3x = 9

x = 3

Resposta: x = 3

7. 5x + 9 = 2(3x + 7)

5x + 9 = 6x + 14

5x - 6x = 14 - 9

-x = 5

x = -5

Resposta: x = -5

8. 2(x - 4) = 3x + 1

2x - 8 = 3x + 1

2x - 3x = 1 + 8

-x = 9

x = -9

Resposta: x = -9

9. 50 - x = 40

-x = 40 - 50

-x = -10

x = 10

Resposta: o desconto é R$ 10,00

10. 8x - 4 = 2x + 20

8x - 2x = 20 + 4

6x = 24

x = 24 / 6 = 4

Resposta: x = 4

Resumo

Neste capítulo, você aprendeu que a equação do 1º grau com uma incógnita é uma expressão matemática linear que utiliza a forma ax + b = 0 para representar uma igualdade. A resolução consiste em isolar a variável, trocando os termos de lado e invertendo as operações para manter a igualdade verdadeira.

Vimos que em casos onde o coeficiente da variável fica negativo, é útil multiplicar toda a equação por -1 para simplificar a resolução. Também aprendemos a interpretar problemas do cotidiano usando equações do 1º grau, transformando dados em expressões matemáticas para descobrir valores desconhecidos.

Praticando os exercícios propostos, você reforçou o domínio dessa técnica essencial para concursos e para o desenvolvimento do raciocínio lógico na matemática.

Porcentagem é um conceito matemático fundamental muito utilizado em diversas áreas, tais como finanças, comércio, estatística, entre outras. Em concursos, entender porcentagem é essencial para resolver problemas que envolvem descontos, acréscimos, lucros, prejuízos e variações percentuais.

O que é Porcentagem?

Porcentagem é uma fração cujo denominador é 100. Ou seja, um valor expresso em porcentagem representa uma parte de um total dividido em 100 partes iguais. Por exemplo, 15% significa 15 partes de 100, que pode ser representado como a fração 15/100 ou o decimal 0,15.

Esta forma de representar quantidades é bastante útil para expressar proporções de forma clara e padronizada.

Formas de Representação da Porcentagem

Cálculo de Porcentagem

Para calcular uma porcentagem de um valor, basta multiplicar esse valor pela porcentagem na forma decimal ou dividir a porcentagem por 100 para transformá-la numa fração.

Exemplos:

• 25% de 1.800 = (25/100) × 1.800 = 450
• 7% de 940 = (7/100) × 940 = 65,8
• 45,8% de 15.000 = (45,8/100) × 15.000 = 6.870

Dica: A forma fracionária e decimal costumam ser mais rápidas em cálculos que envolvem porcentagem do que a regra de três, principalmente para quem está treinando mentalmente.

Porcentagem como Parte de um Total

Às vezes é preciso descobrir que porcentagem um valor representa em relação a outro valor maior.

Fórmula:

Percentual (%) = (Parte / Total) × 100

Exemplo prático: Uma pessoa que recebe R$ 3.800,00 e paga R$ 570,00 de prestação.

Qual a porcentagem da prestação em relação ao salário?

Calculando:

(570 ÷ 3.800) × 100 = 15%

Fatores de Aumento e Redução

Em casos de aumentos ou descontos sucessivos, os fatores multiplicativos facilitam o cálculo do valor final.

Exemplo:

Uma mercadoria custa R$ 2.000,00.
Aumenta 15%, depois 10%.

Calculamos o valor final:

Após primeiro aumento: 2.000 × 1,15 = 2.300

Após segundo aumento: 2.300 × 1,10 = 2.530

Percentual total de aumento:

((2.530 - 2.000) / 2.000) × 100 = 26,5%

Lucro e Prejuízo em Percentual

Lucro é o ganho obtido na venda de um produto, quando o preço de venda é maior que o preço de custo.

Lucro = Preço de Venda - Preço de Custo

Prejuízo é a perda, quando o preço de venda é menor que o preço de custo.

Prejuízo = Preço de Custo - Preço de Venda

Cálculo percentual:

Exemplo: Produto custa R$ 480,00 e é vendido por R$ 600,00. Qual o percentual de lucro sobre o custo?

Lucro = 600 - 480 = R$ 120,00

Percentual sobre custo = (120 ÷ 480) × 100 = 25%

Dicas para Concurseiros

• Sempre converta porcentagens para frações de 100 antes de realizar multiplicações.
• Para descontos e acréscimos sucessivos, utilize o fator multiplicativo para evitar erros de soma.
• Ao calcular porcentagem que um valor representa de outro, verifique se o enunciado pede em relação ao total ou a outra base.
• Nas provas, quando não estiver informado explicitamente, calcule lucro ou prejuízo sempre em relação ao preço de custo.
• Depois que fizer o cálculo decimal, transforme em porcentagem multiplicando o resultado por 100.

Exercícios

1. Calcule 12% de 2.500.
2. Um produto de R$ 400,00 teve um desconto de 15%. Qual é o preço final?
3. Se R$ 90 representam 18% de um valor total, qual é esse valor?
4. Uma pessoa ganha R$ 2.800 e gasta R$ 420 com transporte. Qual o percentual gasto?
5. Um item custava R$ 150, sofreu dois aumentos sucessivos de 10% e 5%. Qual o preço final?
6. Um comerciante comprou mercadoria por R$ 3.000 e vendeu por R$ 3.600. Qual o lucro percentual sobre o custo?
7. Uma loja oferece 20% de desconto em um produto de R$ 120,00 e ainda concede um desconto adicional de R$ 10,00. Qual o preço final?
8. Em uma pesquisa, 80% dos entrevistados disseram preferir sorvete de chocolate. Se foram entrevistadas 150 pessoas, quantas preferem esse sabor?
9. Um fabricante aumenta o preço de um produto em 25%, e logo depois reduz em 20%. Qual é a variação percentual final?
10. Uma pessoa tem um salário de R$ 3.500 e gasta R$ 1.575 em despesas diversas. Qual a porcentagem que essas despesas correspondem do salário?

Resoluções

1. 12% de 2.500 = (12/100) × 2.500 = 300.
2. Desconto = 15% de 400 = 0,15 × 400 = 60;
   Preço final = 400 - 60 = 340.
3. Valor total = 90 ÷ (18/100) = 90 ÷ 0,18 = 500.
4. Percentual = (420 ÷ 2800) × 100 = 15%.
5. Após 10%: 150 × 1,10 = 165;
   Após 5%: 165 × 1,05 = 173,25.
6. Lucro = 3.600 - 3.000 = 600;
   Percentual = (600 ÷ 3.000) × 100 = 20%.
7. Desconto 20%: 0,20 × 120 = 24;
   Preço após desconto: 120 - 24 = 96;
   Preço final com desconto adicional: 96 - 10 = 86.
8. 80% de 150 = 0,8 × 150 = 120 pessoas.
9. Aumento de 25%: multiplicar por 1,25;
   Redução de 20%: multiplicar por 0,8;
   Variação total = 1,25 × 0,8 = 1,0 = 0% de variação.
10. Percentual da despesa = (1.575 ÷ 3.500) × 100 = 45%.

Resumo

Porcentagem é uma fração com denominador 100 que expressa uma proporção em relação a um total. Dominá-la é fundamental para resolver problemas práticos nos estudos para concursos, especialmente em questões de aumento, desconto, lucro e prejuízo.

Algumas fórmulas e conceitos importantes incluem o cálculo percentual, taxa de aumento ou redução, e aplicação do lucro e prejuízo em termos percentuais. Para facilitar os cálculos, utilize frações e decimais em vez da regra de três tradicional.

Lembre-se de interpretar corretamente o enunciado para saber em relação a qual valor a porcentagem está sendo considerada.

Na geometria plana, compreender os conceitos de área e perímetro é fundamental para a resolução de diversos problemas, especialmente em concursos públicos. Estes dois conceitos estão relacionados às medidas de figuras planas, sendo essenciais para o cálculo do espaço interno e do contorno de formas geométricas.

O que é Perímetro?

O perímetro é a medida do comprimento do contorno de uma figura geométrica plana. Ou seja, é a soma dos comprimentos de todos os lados da figura.

Por exemplo, o perímetro de um triângulo é a soma dos seus três lados; o perímetro de um retângulo é a soma dos quatro lados; e assim por diante.

Importância do perímetro: saber calcular perímetros é útil para determinar a quantidade de material necessário para cercar uma área, como uma cerca em uma propriedade, marcos urbanos (perímetro urbano) ou mesmo o comprimento total de uma pista.

Exemplos práticos de cálculo de perímetro

• Perímetro de um retângulo com lados 8 m e 5 m: P = 2 x (8 + 5) = 26 m.
• Perímetro de um triângulo cujos lados medem 7 cm, 9 cm e 12 cm: P = 7 + 9 + 12 = 28 cm.
• Perímetro de um quadrado com lado 10 m: P = 4 x 10 = 40 m.

Perímetro da circunferência

Ao falar do perímetro da circunferência, falamos do comprimento da circunferência. A circunferência é o conjunto de pontos no plano que estão a uma mesma distância de um ponto fixo chamado centro.

Antes de calcular o perímetro, é importante conhecer dois elementos:

• Raio (r): distância do centro da circunferência a qualquer ponto sobre ela.
• Diâmetro (d): segmento que liga dois pontos da circunferência e passa pelo centro, sendo o dobro do raio. Assim, d = 2r.

Fórmulas para o perímetro (comprimento) da circunferência:

Nota: π (pi) é uma constante, aproximadamente 3,14.

Exemplo de cálculo do comprimento de uma circunferência

Para uma circunferência com raio de 60 cm:

C = 2 . π . r = 2 . 3,14 . 60 = 376,8 cm

O que é Área?

A área representa a medida da superfície interna de uma figura geométrica. Ou seja, é todo o espaço que está contido dentro do perímetro da figura.

Este conceito é importante para calcular a quantidade de material necessário para cobrir uma superfície (como pisos, paredes, terrenos) ou mesmo para comparar tamanhos de áreas entre diferentes figuras.

Fórmulas básicas para áreas de figuras planas

Exemplos de cálculo de áreas

• Área de um retângulo com comprimento 10 m e largura 4 m: A = 10 × 4 = 40 m².
• Área de um triângulo com base 8 cm e altura 5 cm: A = (8 × 5) / 2 = 20 cm².
• Área de uma circunferência com raio 7 m: A = 3,14 × 7² = 3,14 × 49 = 153,86 m².

Dicas importantes para concursos

• Perímetro sempre se refere à soma dos lados; para polígonos regulares, pode-se multiplicar o número de lados pelo tamanho do lado.
• Na circunferência, lembre-se da relação entre raio e diâmetro: diâmetro = 2 × raio.
• Memorize π como 3,14 para facilitar os cálculos, a menos que o enunciado peça valor mais rigoroso.
• Para área, memorize as fórmulas básicas e identifique corretamente base, altura, lados e diagonais na figura.
• Quando houver medidas em diferentes unidades, converta para a mesma unidade antes de calcular (exemplo: cm para m).

Exercícios

1. Calcule o perímetro de um triângulo cujos lados medem 10 cm, 14 cm e 18 cm.
2. Determine a área de um retângulo com comprimento 15 m e largura 9 m.
3. Qual é o perímetro de um quadrado de lado 7 m?
4. Calcule o comprimento de uma circunferência com diâmetro igual a 20 cm (use π = 3,14).
5. Uma circunferência tem raio de 12 cm. Calcule sua área.
6. Calcule a área de um triângulo com base de 10 cm e altura 6 cm.
7. Qual o perímetro de um paralelogramo com lados 8 cm e 12 cm?
8. Determine a área de um trapézio cuja base maior mede 15 m, a base menor 9 m e a altura 6 m.
9. Um losango tem diagonais que medem 16 cm e 12 cm. Calcule sua área.
10. Calcule o perímetro de um pentágono regular de lado 11 m.

Resolução dos exercícios

1. Perímetro triângulo: P = 10 + 14 + 18 = 42 cm.
2. Área retângulo: A = 15 × 9 = 135 m².
3. Perímetro quadrado: P = 4 × 7 = 28 m.
4. Comprimento circunferência: C = π × d = 3,14 × 20 = 62,8 cm.
5. Área circunferência: A = π × r² = 3,14 × 12² = 3,14 × 144 = 452,16 cm².
6. Área triângulo: A = (10 × 6)/2 = 60/2 = 30 cm².
7. Perímetro paralelogramo: P = 2 × (8 + 12) = 2 × 20 = 40 cm.
8. Área trapézio: A = ((15 + 9) × 6)/2 = (24 × 6)/2 = 144/2 = 72 m².
9. Área losango: A = (16 × 12)/2 = 192/2 = 96 cm².
10. Perímetro pentágono regular: P = 5 × 11 = 55 m.

Resumo

Este capítulo apresentou os conceitos fundamentais de área e perímetro na geometria plana, explicando sua definição, importância e aplicação prática em figuras geométricas diversas, como triângulos, quadrados, retângulos, paralelogramos, losangos, trapézios e circunferências.

O perímetro é sempre a soma do comprimento dos lados, enquanto a área mede o espaço interno da figura. No caso da circunferência, o perímetro é calculado por meio do comprimento, utilizando π multiplicado pelo diâmetro ou pelo dobro do raio, e a área é dada por π vezes o quadrado do raio.

Por fim, foram apresentados exercícios para fixação e resolução detalhada para melhor compreensão das fórmulas e conceitos ensinados.

A função do 1º grau, também chamada de função afim, é uma das noções fundamentais da matemática, amplamente aplicada em diversas áreas do conhecimento e especialmente importante para a resolução de problemas em concursos públicos de nível médio. Trata-se de uma função polinomial cuja expressão geral pode ser escrita como:

f(x) = ax + b, onde a e b são números reais e a ≠ 0.

Nessa função, o coeficiente a é chamado de coeficiente angular e representa a inclinação da reta no plano cartesiano, indicando se a função cresce ou decresce à medida que x aumenta. Já o coeficiente b é o coeficiente linear, ou termo independente, que indica o valor da função quando x = 0, ou seja, o ponto em que a reta intercepta o eixo y.

A relevância da função do 1º grau reside na sua aplicabilidade para modelar grandezas que apresentam relação linear direta, como preços, salários, custos, distâncias, velocidades, entre outros. A compreensão dessa função permite interpretar e resolver situações práticas por meio da construção de expressões algébricas e utilização de gráficos lineares.

Aplicação da função do 1º grau na prática

Forma algébrica e exemplos

Considere a função:

f(x) = ax + b

Com a ≠ 0.

Exemplos práticos:

• O custo de uma corrida de táxi que cobra R$ 4,00 de bandeirada mais R$ 2,50 por quilômetro rodado pode ser representado por f(x) = 2,5x + 4, onde x é o número de quilômetros percorridos.
• O salário de um vendedor formado por um valor fixo de R$ 500,00 acrescido de 3% de comissão sobre as vendas totais pode ser descrito por f(x) = 0,03x + 500, onde x representa o valor das vendas.
• O nível de água em um tanque com 20.000 litros que esvazia a uma vazão constante de 500 litros por minuto pode ser modelado como f(t) = 20000 - 500t, onde t é o tempo em minutos desde o início do esvaziamento.

Coeficiente angular e linear

Dica: Quando b = 0, a função é chamada de função linear propriamente dita, e seu gráfico passa pela origem (0,0).

Função crescente e decrescente

Um aspecto fundamental para interpretar o comportamento da função do 1º grau é entender se ela é crescente ou decrescente:

• Função crescente: quando a > 0, o gráfico é uma reta que sobe da esquerda para a direita.
• Função decrescente: quando a < 0, o gráfico é uma reta que desce da esquerda para a direita.

Exemplos de funções do 1º grau

Considere as seguintes funções:

• f(x) = 2x + 3 (a = 2, b = 3) – função crescente e o gráfico intercepta o eixo y em 3.
• g(x) = –x + 4 (a = –1, b = 4) – função decrescente e o gráfico intercepta o eixo y em 4.
• h(x) = 5x (a = 5, b = 0) – função crescente e o gráfico passa pela origem.

Equação do 1º grau

É importante diferenciar a função do 1º grau da equação do 1º grau. A equação do 1º grau é uma igualdade envolvendo uma variável com potência um, do tipo:

ax + b = 0, com a ≠ 0.

Para resolver essa equação, devemos isolar a variável x:

Exemplo:

5x – 8 = 2x + 13

Passos:

1. Levar todos os termos com x para um lado e os números para o outro:
   5x – 2x = 13 + 8
2. Simplificar:
   3x = 21
3. Isolar x:
   x = 21 / 3 = 7

Dica: Sempre mantenha o equilíbrio, fazendo a mesma operação nos dois lados da equação.

Gráficos da função do 1º grau

O gráfico da função do 1º grau é sempre uma reta, que pode ser desenhada a partir do coeficiente linear e do coeficiente angular.

Determinação do gráfico

Para esboçar o gráfico, siga os passos:

1. Determine o ponto onde a reta intercepta o eixo y, que é dado por (0, b).
2. Escolha um valor qualquer para x e calcule o correspondente f(x).
3. Marque os pontos encontrados no plano cartesiano.
4. Una os pontos com uma reta, que será o gráfico da função.

Exemplo: para a função f(x) = 3x + 7, temos:

• Intercepto y: (0,7)
• Para x=1, f(1) = 3(1) + 7 = 10 → ponto (1,10)

Ligando (0,7) e (1,10), obtemos a reta do gráfico.

Determinação da função a partir do gráfico

Para encontrar a função associada a uma reta, é necessário determinar o coeficiente angular e linear:

• Seleccione dois pontos qualquer da reta, por exemplo, (x_1, y_1) e (x_2, y_2).
• Calcule o coeficiente angular pela fórmula:

a = (y_2 – y_1) / (x_2 – x_1)

• O coeficiente linear (b) corresponde ao valor de f(0), ou seja, o ponto em que a reta intercepta o eixo y.

Assim, a função será dada por f(x) = ax + b.

Observações importantes e bizus

• Ponto zero ou raiz da função: É o valor de x que zera a função, ou seja, satisfaça f(x) = 0, dado por x = –b/a. É o ponto onde o gráfico corta o eixo x.
• Função identidade: É a função f(x) = x que possui coeficiente angular igual a 1 e coeficiente linear zero. Seu gráfico é a reta que passa pela origem formando um ângulo de 45° com o eixo x.
• Importância prática: A função do 1º grau é extremamente útil para resolver problemas cotidianos e de concursos que envolvem cálculos de custos, velocidade, tempo, lucro, e outras relações lineares.
• Dica para prova: Sempre faça a verificação dos pontos interceptados nos eixos e observe o comportamento crescente ou decrescente da função para interpretar questões de forma rápida.

Exercícios para fixação

1. Considere a função f(x) = 4x – 5. Calcule f(3), f(0) e f(–1).
2. Uma empresa cobra uma taxa fixa de R$ 120,00 mais R$ 5,00 por cada serviço realizado. Escreva a função que representa o custo em reais em função do número de serviços x.
3. Resolva a equação do 1º grau: 7x + 3 = 4x + 12.
4. Dado o gráfico da função do 1º grau que intercepta o eixo y no ponto (0, –2) e passa pelo ponto (3, 7), encontre a expressão da função.
5. Determine se a função g(x) = –2x + 10 é crescente ou decrescente.
6. Um tanque de água com 50.000 litros está sendo esvaziado a uma taxa constante de 1.500 litros por hora. Escreva a função que indica a quantidade de água Q(t) em litros após t horas, e determine o volume após 12 horas.
7. Qual é o valor da raiz da função f(x) = 3x – 9?
8. Construa o gráfico da função f(x) = –x + 4.
9. O custo fixo de uma fábrica é de R$ 2.000,00 e o custo variável por unidade produzida é de R$ 15,00. Qual a função que representa o custo total C(x) para a produção de x unidades?
10. Uma função do 1º grau tem coeficiente angular 5 e passa pelo ponto (2, 7). Determine a função.

Respostas comentadas

1. f(3) = 4(3) – 5 = 12 – 5 = 7; f(0) = –5; f(–1) = 4(–1) – 5 = –4 – 5 = –9.
2. Função: C(x) = 5x + 120.
3. 7x + 3 = 4x + 12 → 7x – 4x = 12 – 3 → 3x = 9 → x = 3.
4. a = (7 – (–2)) / (3 – 0) = 9/3 = 3; Como intercepta em (0, –2), b = –2; Logo, f(x) = 3x – 2.
5. Como a = –2 < 0, função decrescente.
6. Q(t) = 50000 – 1500t; Para t = 12, Q(12) = 50000 – 1500 × 12 = 50000 – 18000 = 32000 litros.
7. Raiz: 3x – 9 = 0 → 3x = 9 → x = 3.
8. Intercepta o eixo y em (0, 4) e para x=1, f(1) = –1 + 4 = 3. Plotar (0,4) e (1,3) e traçar a reta decrescente.
9. C(x) = 15x + 2000.
10. f(x) = 5x + b. Substituindo: 7 = 5(2) + b → 7 = 10 + b → b = –3. Logo, f(x) = 5x – 3.

Resumo

• A função do 1º grau é definida por f(x) = ax + b, com a ≠ 0 e possui gráfico sempre em forma de reta.
• O coeficiente a é o coeficiente angular, que indica a inclinação e determina se a função é crescente (a > 0) ou decrescente (a < 0).
• O coeficiente b é o coeficiente linear e indica o ponto onde a reta intercepta o eixo y.
• A resolução de equações do 1º grau envolve isolar a variável e manter a igualdade.
• É possível determinar o gráfico a partir da função e vice-versa, utilizando pontos e o cálculo do coeficiente angular.
• O domínio da função do 1º grau é todo conjunto dos números reais, e ela é essencial para modelar problemas lineares e relações diretas em contextos reais e de concursos.