Função Modular: Exercícios Resolvidos

Para antes podermos adentrar o assunto das funções modulares, é preciso conhecer uma ferramenta matemática chamada módulo. O módulo pode ser descrito como a distância de um número Y até o número 0, uma vez que surgiu justamente da necessidade de calcular a distância dos números reais até o número 0.

Em consequência disso, ao calcularmos essa distância até 0 de um número real positivo, perceberemos que esse número se tornará negativo, porém, como não é possível que a distância de um número até outro seja negativo, usa-se o módulo para tornar esses números reais negativos em um número positivo ou nulo.

Módulo

Veja:

Como vemos acima, a distância entre o número 4 e 0 é medido pela incógnita d. Sendo assim, d = 0 – 4

d = -4

Como dito acima, não existe uma distância que apresente números negativos, para isso aplicaremos o módulo: Em primeiro lugar, é imprescindível saber que o módulo é representado por duas barras paralelas e entre elas está o número real.

|x|

A regra é: os números que são positivos continuam positivos e os números que são negativos se tornam positivos.

|x| = x, se x > 0
|x| = -x, se x < 0

Exemplos:

|5| = 5
|- 2| = - (-2) = 2

Agora que conhecemos como funciona o módulo, podemos partir para a função modular. A função modular é aquela cuja lei associa em módulos seus elementos.

Dada uma função f(x) = |x|, então

f(x) = x, se x > 0
f(x) = -x, se x <0

Gráfico

Por se comportar dessa maneira, o gráfico de uma função modular se conforma de uma forma bem diferente dos gráficos que representam outras funções. Como os números “se repetem”, o desenho do gráfico de uma função modular comporta-se quase como um espelho.

Propriedades

Além da definição do módulo, para a função modular temos também as seguintes propriedades:

1. Para todo x ∈ R, |x²| = |x|²
2. Para todo x e y ∈ R, |x * y| = |x| * |y|
3. Para todo x e y ∈ R, |x + y| = |x| + |y|

Exercício resolvido

Dada a função modular f(x) = |2 – x| – 2, escreva a função sem utilizar módulo nas sentenças.

|2 - x| = 0
X = -2

Caso x assuma um valor maior ou igual a 2, teremos um valor positivo dentro do módulo.

x ≥ 2
|2 – x| ≥ 0
f(x) = |2 – x| – 2
f(x) = 2 – x – 2
f(x) = – x

Já caso seja menor do que 2, teremos um valor negativo dentro do módulo.

x < 2
|2 – x| < 0
f(x) = |2 – x| – 2
f(x) = – (2 – x) – 2
f(x) = – 2 + x – 2
f(x) = x – 4