Dentre os componentes estatísticos, a média é de longe a mais utilizada. Seja utilizada para calcular a nota final de uma sequência de provas, do rendimento de um atleta, a idade média de um grupo de alunos ou a cotação do dólar durante uma semana, a média, mesmo que não tenhamos noção, é extremamente presente no nosso cotidiano.
Vamos ver aqui neste artigo tudo sobre média aritmética simples e ponderada com exercícios resolvidos.
Média aritmética simples
O cálculo da média aritmética é simples: somamos o valor de todos os termos e dividimos esse total pelo número de termos. Veja:
M = Média
S = soma dos termos
N = Número de termos
Exemplos de aplicações
1) Na escola Foco, os alunos do primeiro ano do ensino médio foram divididos em grupos de 4 integrantes e submetidos a provas de matemática. Os grupos que alcançassem a média maior do que 9 ganhariam ingressos para uma sessão de cinema. Se Pedro tirou 7, Ana 9, Maria 8,5 e Luana 10, os quatro ganharão ou não os ingressos?
Sabendo que temos 4 elementos, somaremos a nota de cada um e dividiremos por 4. Logo:
Eles não ganharão os ingressos porque a média final do grupo ficou abaixo de 9.
2) Uma ginasta olímpica recebeu uma nota de cada um dos três jurados após sua apresentação. Qual será a média final da sua pontuação?
Jurado 1= 885
Jurado 2 = 857
Jurado 3 = 902
Se temos 3 notas, a soma das pontuações será dividida por 3 no final.
A pontuação final da atleta será 881,3.
Exercícios resolvidos aritmética simples
1) A média aritmética das notas dos alunos de uma turma formada por 25 meninas e 5 meninos é igual a 7. Se a média aritmética das notas dos meninos é igual a 6, a média aritmética das notas das meninas é igual a:
a) 6,5
b) 7,2
c) 7,4
d) 7,8
e) 8,0
Essa questão funciona de uma forma diferente dos exemplos acima pois, ao invés de pedir o resultado da média, pede o valor de um dos elementos que compõem a média, no caso o valor da soma. Sabemos que a média total é igual a 7, que a média total apenas dos meninos é igual a 6 e que temos um total de 5 meninos. Com esses dados podemos realizar a média dos meninos para encontrar a soma da nota dos meninos.
Conhecendo a soma dos meninos, podemos aplicá-la ao cálculo da média total entre meninos e meninas a fim de obtermos o valor da soma das meninas.
Nesse caso, o número de elementos é 30 porque é o total de alunos da turma. Resolvendo a conta matemática:
Se sabemos o valor da soma, dividindo-o pelo total de meninas na turma poderemos obter a média das notas das meninas.
2) Foi feita uma pesquisa sobre a qualidade do doce de abóbora da empresa Bora-Bora. Cada entrevistado dava ao produto uma nota de 0 a 10. Na primeira etapa da pesquisa foram entrevistados 1000 consumidores e a média das notas foi igual a 7. Após a realização da segunda etapa da pesquisa, constatou-se que a média das notas dadas pelos entrevistados nas duas etapas foi igual a 8. O número de entrevistados na segunda etapa foi no mínimo igual a?
Se a média de 1000 entrevistados foi 7 temos que:
Agora precisamos entender que, para que o número de entrevistados seja MÍNIMO, a nota atribuída precisa ser MÁXIMA, ou seja, 10:
Desse modo, o número de entrevistados deverá ser 500.
Média aritmética ponderada
A média aritmética simples é uma ferramenta matemática inserida em diversas situações do cotidiano e realizada através do cálculo da soma de todos os elementos divididos pelo número de elementos somados.
Ao contrário da média aritmética simples, a média aritmética ponderada leva em consideração pesos atribuídos a cada um dos elementos somados no numerador. Na ponderada, realizamos a multiplicação entre os valores e seus respectivos pesos e depois dividimos a somatória pela soma dos pesos.
Os pesos são, na verdade, uma forma de atribuir maior valor a determinados elementos do somatório.
A média aritmética ponderada é muito utilizada para calcular a média final das notas dos alunos na escola quando os bimestres possuem pesos diferentes, em vestibulares no cálculo das notas para atribuir maior valor às áreas de conhecimento afins a determinados cursos.
Veja abaixo como funciona a média ponderada:
M é a média
E1 é o primeiro elemento multiplicado por seu respectivo peso P1.
E2 é o segundo elemento multiplicado por seu peso P2.
E3 é o terceiro elemento multiplicado por seu peso P3.
Exemplo de aplicação
João, ao prestar um concurso público, realizou três provas para testar seus conhecimentos. A primeira prova, a de Português, possuía peso 1, a segunda, de Conhecimentos Gerais, possuía peso 2 e a de Matemática possuía peso 3. Sabendo que as notas de João foram, respectivamente, 65, 78 e 82, calcule a média final de suas notas.
As questões de média aritmética ponderada abordam, na maioria dos casos, o mesmo padrão. Para isso, precisamos aprender como realizar a média ponderada. Em primeiro lugar, precisamos saber quais pesos serão somados a quais notas. Precisamos, então, multiplicar cada nota por seu respectivo peso e depois dividir o somatório pela soma dos pesos que é 1 + 2 + 3 = 6.
A média final de João no concurso foi 77,83.
Exercícios resolvidos de média aritmética ponderada
1) Em cada bimestre, uma faculdade exige a realização de quatro tipos de avaliação, calculando a nota bimestral pela média ponderada dessas avaliações. Se a tabela apresenta as notas obtidas por uma aluna nos quatro tipos de avaliações realizadas e os pesos dessas avaliações, sua nota bimestral foi aproximadamente igual a:
a) 8,6.
b) 8,0.
c) 7,5.
d) 7,2.
e) 6,8.
Como mostrado no exemplo acima, precisamos, primeiramente, multiplicar cada nota por seu respectivo peso. Sendo assim:
6 * 4 = 24
7 * 4 = 28
8 * 2 = 16
9 * 2 = 18
Somatório = 24 + 28 + 16 + 18 = 86
Agora dividiremos o somatório encontrado pela soma de todos os pesos. Se 4 + 4 + 2 + 2 = 12, dividiremos 86 por 12 a fim de obter a média.
A média ponderada das notas é 7,17, sendo assim, a resposta correta é a letra D.
2) A nota final para uma disciplina de uma instituição de ensino superior é a média ponderada das notas A, B e C, cujos pesos são 1, 2 e 3, respectivamente. Paulo obteve A = 3,0 e B = 6,0. Quanto ele deve obter em C para que sua nota final seja 6,0?
a) 7,0
b) 9,0
c) 8,0
d) 10,0
Primeiro vamos realizar a multiplicação das notas por cada peso.
3 * 1 = 3
6 * 2 = 12
Como precisamos descobrir a nota da terceira disciplina, a chamaremos de C.
C * 3 = 3C
Se os pesos são 1, 2 e 3, a soma dos pesos e, consequentemente, o denominador do cálculo será igual a 6. Dessa forma temos:
Sendo assim, a nota necessária é 7 e a resposta da questão é a letra a.
