Depois de julgada procedente determinada ação de cobrança, o demandado interpôs recurso...

Depois de julgada procedente determinada ação de cobrança, o demandado interpôs recurso de apelação, o qual, entretanto, foi improvido pelo tribunal competente. Em seguida, ele interpôs recurso especial, que foi admitido pela presidência do tribunal de justiça, mas o demandante pretende promover o cumprimento da decisão que havia julgado procedente o seu pedido.
Nesse caso, a competência para processar o pedido de cumprimento provisório de sentença é