Camila Duarte
EQUIPE
03/09/2026 • 03:02
Vamos analisar essa questão de polinômios, que é bastante comum em circuitos de corrente alternada, pois envolve raízes complexas que representam fenômenos periódicos ou oscilatórios. Aqui, a variável z é complexa, e o polinômio I(z) = z^4 + 7z^3 + 59z^2 + 343z + K tem duas raízes imaginárias puras, ou seja, da forma bi, com b real e diferente de zero. Além disso, o módulo dessas raízes é 7, então elas são ±7i.
Como as raízes ±7i são raízes do polinômio, substituímos z = 7i e esperamos que I(7i) = 0.
Vamos calcular I(7i):
z = 7i
z^2 = (7i)^2 = 49 i^2 = -49
z^3 = z^2 * z = (-49) * 7i = -343i
z^4 = z^2 * z^2 = (-49) * (-49) = 2401
Agora,
I(7i) = 2401 + 7(-343i) + 59(-49) + 343(7i) + K
= 2401 - 2401i - 2891 + 2401i + K
Note que os termos imaginários -2401i e +2401i se cancelam.
Assim, I(7i) = 2401 - 2891 + K = (2401 - 2891) + K = -490 + K
Como 7i é raiz, I(7i) = 0, então
-490 + K = 0
=> K = 490
Portanto, a constante K é 490, que corresponde à alternativa c).
Como as raízes ±7i são raízes do polinômio, substituímos z = 7i e esperamos que I(7i) = 0.
Vamos calcular I(7i):
z = 7i
z^2 = (7i)^2 = 49 i^2 = -49
z^3 = z^2 * z = (-49) * 7i = -343i
z^4 = z^2 * z^2 = (-49) * (-49) = 2401
Agora,
I(7i) = 2401 + 7(-343i) + 59(-49) + 343(7i) + K
= 2401 - 2401i - 2891 + 2401i + K
Note que os termos imaginários -2401i e +2401i se cancelam.
Assim, I(7i) = 2401 - 2891 + K = (2401 - 2891) + K = -490 + K
Como 7i é raiz, I(7i) = 0, então
-490 + K = 0
=> K = 490
Portanto, a constante K é 490, que corresponde à alternativa c).