Considere a seguinte equação característica de um sistema de controle contínu...

Essa questão trata da estabilidade de sistemas de controle pela análise da equação característica, que é um polinômio cujas raízes determinam se o sistema é estável ou não. Aqui, temos um polinômio de terceiro grau: s³ + 7s² + Ks + (1 + 5K) = 0.

O método mais comum para decidir estabilidade sem calcular diretamente as raízes é o critério de estabilidade de Routh-Hurwitz. Ele permite encontrar as condições para que todos os polos tenham parte real negativa, garantindo estabilidade.

Montando a tabela de Routh para esse polinômio:
Primeira linha (s³): coeficientes de s³, s¹ => 1 e K
Segunda linha (s²): coeficientes de s², s⁰ => 7 e (1+5K)

Agora calculamos a linha de s¹:
Elemento 1 linha s¹ = (7*K - 1*(1+5K))/7 = (7K -1 -5K)/7 = (2K -1)/7
Elemento 2 linha s¹ = 0 (pois não há mais termos)

Linha s⁰ = ( (2K -1)/7 * (1+5K) - 7 * 0 ) / ( (2K -1)/7 ) = 1+5K

Para estabilidade, todos os elementos da primeira coluna da tabela devem ser positivos:
1) 1 > 0 (sempre)
2) 7 > 0 (sempre)
3) (2K -1)/7 > 0 → 2K -1 > 0 → K > 0,5
4) 1 + 5K > 0 → 5K > -1 → K > -0,2

Como a linha s¹ depende de K > 0,5 para ser positiva, e linha s⁰ depende de K > -0,2, a condição mais restritiva é K > 0,5.

Portanto, o sistema é estável para K > 0,5.

Assim, a alternativa correta é a letra b).