Duas partículas puntiformes A e B, de mesma massa M, possuem cargas elétricas...

Essa questão trata de um sistema de duas partículas carregadas que se movem em um movimento circular uniforme devido à força eletrostática entre elas. É um exemplo clássico de movimento circular sob força central, semelhante a sistemas gravitacionais, mas com carga elétrica.

Para resolver, devemos determinar a energia mecânica total do sistema, que é a soma da energia cinética e da energia potencial elétrica. Sabemos que a energia potencial elétrica para duas cargas qA e qB separadas por distância r é U = k * qA * qB / r, com energia potencial zero no infinito.

Aqui, qA = +q e qB = -2q, portanto U = k * q * (-2q) / r = -2 k q² / r, indicando uma força atrativa.

O sistema gira em torno do centro de massa. Como as massas são iguais, o centro de massa estará exatamente no ponto médio entre as partículas. Cada uma descreve um círculo de raio r/2 com período T.

A força centrípeta para qualquer partícula é fornecida pela força elétrica: F = m v² / (r/2) = k |qA qB| / r²

Velocidade v é 2π (r/2) / T = π r / T.

Calculando força centrípeta: m v² / (r/2) = m (π r / T)² / (r/2) = m π² r / T² * 2 = 2 m π² r / T²

Igualando à força elétrica: 2 m π² r / T² = 2 k q² / r²

Simplificando: m π² r / T² = k q² / r²

Rearranjando para r³: r³ = k q² T² / (m π²)

Energia potencial: U = -2 k q² / r = -2 k q² / r

Energia cinética total é soma das energias cinéticas das duas massas:

Cada uma: K = 1/2 m v² = 1/2 m (π r / T)² = 1/2 m π² r² / T²
Total: 2 * K = m π² r² / T²

Energia mecânica total E = K + U = m π² r² / T² - 2 k q² / r

Substituindo r³:
r = (k q² T² / (m π²))^{1/3}

Logo, r² = [r³]^{2/3} = (k q² T² / (m π²))^{2/3}

Calculando E:
E = m π² / T² * r² - 2 k q² / r = m π² / T² * (k q² T² / (m π²))^{2/3} - 2 k q² / (k q² T² / (m π²))^{1/3}

Simplificando ambos termos usando potências:
Primeiro termo: m π² / T² * (k^{2/3} q^{4/3} T^{4/3} / m^{2/3} π^{4/3})
= m^{1/3} π^{2 - 4/3} k^{2/3} q^{4/3} T^{-2 + 4/3}
= m^{1/3} π^{2/3} k^{2/3} q^{4/3} T^{-2/3}

Segundo termo: 2 k q² / (k^{1/3} q^{2/3} T^{2/3} / (m^{1/3} π^{2/3})) = 2 k^{2/3} q^{4/3} m^{1/3} π^{2/3} T^{-2/3}

Logo, E = m^{1/3} π^{2/3} k^{2/3} q^{4/3} T^{-2/3} - 2 m^{1/3} π^{2/3} k^{2/3} q^{4/3} T^{-2/3} = - m^{1/3} π^{2/3} k^{2/3} q^{4/3} T^{-2/3}

Reorganizando a expressão, temos:
E = - (π^{2} M k^{2} q^{4} / T^{2})^{1/3}

Observando as alternativas, a que mais se aproxima é a letra b:
-(π^{2} M k^{2} q^{4} / T^{2})^{1/3}

Portanto, o gabarito correto é b.