Matheus Fernandes
EQUIPE
24/09/2026 • 08:02
Nesta questão, estamos lidando com opções de pagamento e juros compostos, um tema muito comum em matemática financeira. O objetivo é descobrir qual é a taxa semestral de juros que faz com que o valor presente das duas opções seja igual, ou seja, o preço à vista com desconto e o valor presente das prestações a prazo.
Para a Opção I, o pagamento à vista com 5% de desconto significa pagar 95% do preço inicial de R$ 4.000.000,00, resultando em R$ 3.800.000,00.
Para a Opção II, temos duas prestações iguais de R$ 2.000.000,00, sendo a primeira paga 6 meses após a compra e a segunda 6 meses depois disso (ou seja, após 12 meses). A ideia é encontrar a taxa de juros i que, descontando-se as prestações para o momento da compra, tenha um valor presente igual a R$ 3.800.000,00.
Assim, o valor presente das prestações é dado por:
PV = 2.000.000 / (1 + i) + 2.000.000 / (1 + i)^2
Queremos que PV = 3.800.000.
Substituindo e rearranjando, temos a equação:
2.000.000 / (1 + i) + 2.000.000 / (1 + i)^2 = 3.800.000.
Dividindo tudo por 1.000.000 para facilitar:
2 / (1 + i) + 2 / (1 + i)^2 = 3.8.
Chamando (1 + i) = x, a equação fica:
2/x + 2/x^2 = 3.8
Multiplicando todos os termos por x^2, temos:
2x + 2 = 3.8x^2
Reorganizando:
3.8x^2 - 2x - 2 = 0
Esta é uma equação quadrática que podemos resolver pela fórmula de Bhaskara. Calculando:
Delta = (-2)^2 - 4*3.8*(-2) = 4 + 30.4 = 34.4
x = [2 ± sqrt(34.4)] / (2*3.8)
Calculando a raiz positiva: sqrt(34.4) ≈ 5.867
x = (2 + 5.867) / 7.6 ≈ 7.867 / 7.6 ≈ 1,035
Lembrando que x = 1 + i, então i ≈ 0,035 ou 3,5% juros semestrais.
Portanto, a taxa semestral de juros embutida no financiamento é próxima de 3,5%.
Gabarito: letra b.
Para a Opção I, o pagamento à vista com 5% de desconto significa pagar 95% do preço inicial de R$ 4.000.000,00, resultando em R$ 3.800.000,00.
Para a Opção II, temos duas prestações iguais de R$ 2.000.000,00, sendo a primeira paga 6 meses após a compra e a segunda 6 meses depois disso (ou seja, após 12 meses). A ideia é encontrar a taxa de juros i que, descontando-se as prestações para o momento da compra, tenha um valor presente igual a R$ 3.800.000,00.
Assim, o valor presente das prestações é dado por:
PV = 2.000.000 / (1 + i) + 2.000.000 / (1 + i)^2
Queremos que PV = 3.800.000.
Substituindo e rearranjando, temos a equação:
2.000.000 / (1 + i) + 2.000.000 / (1 + i)^2 = 3.800.000.
Dividindo tudo por 1.000.000 para facilitar:
2 / (1 + i) + 2 / (1 + i)^2 = 3.8.
Chamando (1 + i) = x, a equação fica:
2/x + 2/x^2 = 3.8
Multiplicando todos os termos por x^2, temos:
2x + 2 = 3.8x^2
Reorganizando:
3.8x^2 - 2x - 2 = 0
Esta é uma equação quadrática que podemos resolver pela fórmula de Bhaskara. Calculando:
Delta = (-2)^2 - 4*3.8*(-2) = 4 + 30.4 = 34.4
x = [2 ± sqrt(34.4)] / (2*3.8)
Calculando a raiz positiva: sqrt(34.4) ≈ 5.867
x = (2 + 5.867) / 7.6 ≈ 7.867 / 7.6 ≈ 1,035
Lembrando que x = 1 + i, então i ≈ 0,035 ou 3,5% juros semestrais.
Portanto, a taxa semestral de juros embutida no financiamento é próxima de 3,5%.
Gabarito: letra b.