Uma partícula desloca-se no eixo x, ...

Vamos analisar um problema de cinemática relativamente clássico, em que a aceleração da partícula depende da posição x. Aqui, a aceleração é dada por α(x) = 90 - 6x², e queremos encontrar o ponto onde a partícula muda de sentido, ou seja, onde a velocidade passa de positiva para negativa ou vice-versa.

A partícula parte do repouso em x = 0, ou seja, v(0) = 0. Para entender onde a velocidade zera novamente, devemos relacionar aceleração, posição e velocidade. Sabemos que aceleração a é a derivada da velocidade em relação ao tempo, mas também podemos escrever a aceleração como a = v dv/dx, pois v = dx/dt.

Assim temos:

α(x) = v dv/dx = 90 - 6x²

Separando as variáveis, ficamos com:

v dv = (90 - 6x²) dx

Integrando ambos os lados entre os limites: v de 0 até v, e x de 0 até x:

∫0^v v dv = ∫0^x (90 - 6x²) dx

Isso dá:

(1/2) v² = 90x - 2x³

Isolando v²:

v² = 180x - 4x³

Para a partícula mudar o sentido do movimento, a velocidade v deve ser zero em algum x > 0. Assim:

v² = 0 = 180x - 4x³

Podemos tirar x em evidência:

x(180 - 4x²) = 0

x = 0 ou 180 - 4x² = 0

A raiz x=0 é o ponto inicial. Resolvendo a segunda parte:

4x² = 180

x² = 45

x = √45 ≈ 6.7 metros

Ou seja, a partícula muda de sentido quando a posição é aproximadamente 6,7 metros.

Analisando as alternativas fornecidas, o valor 6,7 está entre 6 e 7. Portanto, a alternativa correta é e) 6 e 7.