Marcos de Castro
EQUIPE
06/10/2026 • 14:02
Vamos falar sobre um tema clássico da matemática combinatória: permutação de letras. A palavra é CANETA, que tem 6 letras distintas. A questão pede o número de senhas diferentes que começam especificamente com a letra C, usando todas as letras sem repetição.
Primeiro, fixamos a letra C na primeira posição. Isso significa que agora só temos que organizar as 5 letras restantes (A, N, E, T, A, mas note que não há repetição, então são A, N, E, T e A já foi contada, então são realmente 5 letras: A, N, E, T e A — espere, temos que verificar as letras com cuidado: a palavra CANETA tem as letras C, A, N, E, T, A. Mas tem duas letras A? Sim, a palavra tem duas letras A? Vamos contar: C (1), A (2), N (1), E (1), T (1). Na verdade, só uma letra A na palavra: C, A, N, E, T, A.
Na verdade, a palavra CANETA contém as letras: C (1), A (2), N (1), E (1), T (1). Mas o enunciado diz que NÃO utiliza repetição, então com as letras da palavra CANETA (6 letras, sendo 2 letras A), a quantidade de permutações sem repetição da palavra inteira deve ser calculada considerando letras repetidas. Mas o enunciado não deixa claro se há repetição na palavra, pois a palavra CANETA tem duas letras A? É verdade? CANETA tem A só uma vez? CANETA: C, A, N, E, T, A. Sim, tem duas letras A na palavra.
Se a palavra tem duas letras A, e o problema fala "sem repetição de letras", significa que só podemos usar cada letra uma vez, ou seja, se a palavra tem A duas vezes, devemos considerar que só usamos uma letra A, ou usar as duas? O enunciado é um pouco ambíguo, mas geralmente "sem repetição de letras" significa que cada letra só pode ser usada uma vez na senha, então só vamos usar uma letra A.
Então as letras serão: C, A, N, E, T, (e uma outra letra A, mas só usamos uma). Então temos 6 letras, sendo que a palavra original tem repetição, mas o enunciado pede sem repetição de letras, então consideramos as 6 letras distintas.
Concluindo: as letras são C, A, N, E, T, A (com duas letras A). O correto é que a palavra CANETA tem 6 letras, onde a letra A aparece duas vezes. Então se a senha deve ser feita usando todas as letras sem repetição, não tem como usar as duas letras A sem repetição, pois são iguais. Portanto, a palavra tem 6 letras com repetição.
A questão é quantas senhas diferentes com 6 letras, usando todas as letras, sem repetir letras (ou seja, cada letra usada só uma vez), e que começam com C.
Quando a palavra tem letras repetidas, as permutações são dadas por 6! / 2! pois a letra A aparece duas vezes.
O total de permutações usando as letras todas é 6! / 2! = 720 / 2 = 360.
Agora, queremos as permutações que começam com C: fixamos C na primeira posição, as outras 5 posições têm as letras A, A, N, E, T, que possuem a letra A repetida.
Então, as permutações das 5 letras a seguir são 5! / 2! = 120 / 2 = 60.
Portanto, o número de senhas diferentes que começam com a letra C é 60.
A alternativa correta é a letra a).
Primeiro, fixamos a letra C na primeira posição. Isso significa que agora só temos que organizar as 5 letras restantes (A, N, E, T, A, mas note que não há repetição, então são A, N, E, T e A já foi contada, então são realmente 5 letras: A, N, E, T e A — espere, temos que verificar as letras com cuidado: a palavra CANETA tem as letras C, A, N, E, T, A. Mas tem duas letras A? Sim, a palavra tem duas letras A? Vamos contar: C (1), A (2), N (1), E (1), T (1). Na verdade, só uma letra A na palavra: C, A, N, E, T, A.
Na verdade, a palavra CANETA contém as letras: C (1), A (2), N (1), E (1), T (1). Mas o enunciado diz que NÃO utiliza repetição, então com as letras da palavra CANETA (6 letras, sendo 2 letras A), a quantidade de permutações sem repetição da palavra inteira deve ser calculada considerando letras repetidas. Mas o enunciado não deixa claro se há repetição na palavra, pois a palavra CANETA tem duas letras A? É verdade? CANETA tem A só uma vez? CANETA: C, A, N, E, T, A. Sim, tem duas letras A na palavra.
Se a palavra tem duas letras A, e o problema fala "sem repetição de letras", significa que só podemos usar cada letra uma vez, ou seja, se a palavra tem A duas vezes, devemos considerar que só usamos uma letra A, ou usar as duas? O enunciado é um pouco ambíguo, mas geralmente "sem repetição de letras" significa que cada letra só pode ser usada uma vez na senha, então só vamos usar uma letra A.
Então as letras serão: C, A, N, E, T, (e uma outra letra A, mas só usamos uma). Então temos 6 letras, sendo que a palavra original tem repetição, mas o enunciado pede sem repetição de letras, então consideramos as 6 letras distintas.
Concluindo: as letras são C, A, N, E, T, A (com duas letras A). O correto é que a palavra CANETA tem 6 letras, onde a letra A aparece duas vezes. Então se a senha deve ser feita usando todas as letras sem repetição, não tem como usar as duas letras A sem repetição, pois são iguais. Portanto, a palavra tem 6 letras com repetição.
A questão é quantas senhas diferentes com 6 letras, usando todas as letras, sem repetir letras (ou seja, cada letra usada só uma vez), e que começam com C.
Quando a palavra tem letras repetidas, as permutações são dadas por 6! / 2! pois a letra A aparece duas vezes.
O total de permutações usando as letras todas é 6! / 2! = 720 / 2 = 360.
Agora, queremos as permutações que começam com C: fixamos C na primeira posição, as outras 5 posições têm as letras A, A, N, E, T, que possuem a letra A repetida.
Então, as permutações das 5 letras a seguir são 5! / 2! = 120 / 2 = 60.
Portanto, o número de senhas diferentes que começam com a letra C é 60.
A alternativa correta é a letra a).