Em uma delegacia, 20 tarefas iguais devem ser distribuídas entre os escrivães...

Nesta questão, estamos lidando com uma distribuição de tarefas iguais entre várias pessoas, sob certas restrições mínimas para cada uma. Esse é um clássico problema de combinatória do tipo "combinações com restrições" ou "partições inteiras".

Aqui, temos 20 tarefas idênticas para distribuir entre 4 escrivães: x1, x2, x3 e x4. Cada um precisa receber pelo menos um número mínimo de tarefas: x1 >= 2, x2 >= 3, x3 >= 4, x4 >= 5.

O primeiro passo é transformar o problema para facilitar a contagem usando variáveis que representam as tarefas atribuídas excedentes às mínimas.

Definimos:

y1 = número de tarefas que x1 recebe além de 2
y2 = número de tarefas que x2 recebe além de 3
y3 = número de tarefas que x3 recebe além de 4
y4 = número de tarefas que x4 recebe além de 5

Sabemos que y1, y2, y3, y4 >= 0 e

y1 + y2 + y3 + y4 = 20 - (2 + 3 + 4 + 5) = 20 - 14 = 6

Agora, precisamos contar de quantas formas podemos distribuir esses 6 "excedentes" entre os 4 escrivães. Como as tarefas são iguais e as variáveis y são inteiros não-negativos, essa é uma combinação com repetição equivalente a:

Número de soluções inteiras e não negativas de y1 + y2 + y3 + y4 = 6

O número de soluções é dado por:
C(6 + 4 -1, 4 - 1) = C(9, 3)

Calculando C(9,3):

C(9,3) = 9! / (3! * 6!) = (9*8*7) / (3*2*1) = 84

Portanto, existem 84 maneiras distintas de distribuir as tarefas entre os quatro escrivães respeitando as restrições mínimas.

Analisando as opções, a alternativa correta é a letra a) 84.