O número de maneiras distintas de se dispor em fila as letras da palavra DETRAN, de ...

Para resolver essa questão, vamos primeiro identificar as vogais na palavra DETRAN: E e A.

Como a fila deve começar e terminar por vogais, temos duas opções para a primeira e última posição na fila: E ou A.

Restam 4 letras para serem dispostas nas posições intermediárias da fila: D, T, R e N.

Para calcular o número de maneiras distintas de dispor essas 4 letras nas posições intermediárias, podemos usar o conceito de permutação simples.

Temos 4 letras para 4 posições, então o número de maneiras de dispor essas letras é 4! (fatorial de 4).

Portanto, o número total de maneiras de dispor as letras da palavra DETRAN, de modo que a fila comece e termine por vogais, é dado por:

2 (opções para as vogais iniciais e finais) * 4! = 2 * 4! = 2 * 4 * 3 * 2 * 1 = 2 * 24 = 48.

Portanto, o número de maneiras distintas de se dispor em fila as letras da palavra DETRAN, de modo que a fila comece e termine por vogais, é de 48.

Gabarito: e) 48.