A proposição funcional "Para todo e qualquer valor de n, tem-se 6n < n² + ...

Para resolver essa questão, vamos analisar a proposição dada: "Para todo e qualquer valor de n, tem-se 6n < n² + 8".

Vamos simplificar essa desigualdade:

6n < n² + 8
0 < n² - 6n + 8

Agora, vamos encontrar os pontos em que a parábola y = n² - 6n + 8 corta o eixo x. Para isso, vamos encontrar as raízes da equação n² - 6n + 8 = 0.

Calculando o discriminante: Δ = (-6)² - 4*1*8 = 36 - 32 = 4

Como Δ > 0, a equação possui duas raízes reais e distintas. Vamos calcular as raízes:

n = [6 ± √(4)] / 2
n = [6 ± 2] / 2
n1 = (6 + 2) / 2 = 8 / 2 = 4
n2 = (6 - 2) / 2 = 4 / 2 = 2

Portanto, as raízes da equação são n = 4 e n = 2.

Agora, vamos analisar em qual intervalo a desigualdade 6n < n² + 8 é verdadeira:

-∞ < n < 2 ou 2 < n < 4

Assim, a proposição será verdadeira se n estiver no intervalo menor que 2 ou entre 2 e 4.

Portanto, a resposta correta é:

Gabarito: c) menor que 2.