O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair do castelo, e é condição suf...

Para resolver esse problema, vamos analisar as condições dadas e as conclusões possíveis:

1. O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair do castelo.
2. O rei ir à caça é condição suficiente para a duquesa ir ao jardim.
3. O conde encontrar a princesa é condição necessária e suficiente para o barão sorrir.
4. O conde encontrar a princesa é condição necessária para a duquesa ir ao jardim.
5. O barão não sorriu.

Vamos analisar cada alternativa:

a) A duquesa foi ao jardim ou o conde encontrou a princesa.
- Pela condição 2, se o rei foi à caça, a duquesa foi ao jardim. Não podemos afirmar sobre o conde encontrar a princesa. Portanto, essa alternativa não pode ser concluída.

b) Se o duque não saiu do castelo, então o conde encontrou a princesa.
- Se o duque não saiu do castelo, então o rei não foi à caça. Pela condição 1, o rei ir à caça é condição necessária para o duque sair do castelo. Portanto, se o duque não saiu do castelo, o rei não foi à caça. Não podemos concluir sobre o conde encontrar a princesa. Logo, essa alternativa não pode ser concluída.

c) O rei não foi à caça e o conde não encontrou a princesa.
- Pela condição 1, se o rei não foi à caça, o duque não saiu do castelo. Pela condição 4, se o conde não encontrou a princesa, a duquesa não foi ao jardim. Portanto, essa alternativa é verdadeira com base nas condições dadas.

d) O rei foi à caça e a duquesa não foi ao jardim.
- Pela condição 2, se o rei foi à caça, a duquesa foi ao jardim. Portanto, essa alternativa não pode ser concluída.

e) O duque saiu do castelo e o rei não foi à caça.
- Se o duque saiu do castelo, então o rei foi à caça. Portanto, essa alternativa não pode ser concluída.

Portanto, a alternativa correta é:

Gabarito: c) O rei não foi à caça e o conde não encontrou a princesa.