É necessário que Beatriz durma para que Sérgio fique feliz. Quando Beatriz...

Para resolver esse problema, podemos usar a lógica das proposições e analisar as relações estabelecidas entre os personagens.

Vamos atribuir letras para representar as proposições:
- Beatriz dorme: B
- Sérgio fica feliz: S
- Romério faz uma visita: R
- Amélia descansa: A

Com base nas informações fornecidas, podemos estabelecer as seguintes relações:
1. É necessário que Beatriz durma para que Sérgio fique feliz: B → S
2. Quando Beatriz dorme, então Romério faz uma visita: B → R
3. É necessário e suficiente que Romério faça uma visita para que Amélia descanse: R ↔ A

Agora, vamos analisar as opções de resposta:

a) Amélia descansa e Beatriz dorme.
Se Romério faz uma visita (R), então Amélia descansa (A) de acordo com a terceira relação. E se Beatriz dorme (B), então Romério faz uma visita (R) de acordo com a segunda relação. Portanto, a opção a) está correta.

b) Amélia não descansa ou Beatriz não dorme.
Essa opção não condiz com as relações estabelecidas, pois não podemos inferir que Amélia não descansa ou Beatriz não dorme a partir das informações dadas.

c) Beatriz não dorme e Romério faz uma visita.
Essa opção também não está correta, pois a relação B → R indica que se Beatriz dorme, então Romério faz uma visita.

d) Beatriz não dorme e Romério não faz uma visita.
Essa opção também não está correta, pois a relação B → R indica que se Beatriz dorme, então Romério faz uma visita.

Portanto, a resposta correta é:

Gabarito: a) Amélia descansa e Beatriz dorme.