David Castilho
EQUIPE
05/01/2025 • 02:20
Para resolver essa questão, vamos primeiro analisar a propriedade dos triângulos formados a partir do triângulo inicial com lados 3, 4 e 5 centímetros.
O triângulo inicial é um triângulo retângulo, pois obedece à relação de Pitágoras: 3² + 4² = 5².
Como os pontos médios dos lados de um triângulo são os vértices do seguinte, a cada novo triângulo formado teremos um triângulo semelhante ao anterior, porém com a área reduzida a 1/4 da área do triângulo anterior.
A área de um triângulo pode ser calculada pela fórmula de Herão:
Área = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)), onde p é o semiperímetro do triângulo e a, b e c são os lados do triângulo.
Para o triângulo inicial com lados 3, 4 e 5, temos p = (3 + 4 + 5) / 2 = 6, então a área do triângulo inicial é:
Área = √(6 * (6 - 3) * (6 - 4) * (6 - 5)) = √(6 * 3 * 2 * 1) = √36 = 6 cm².
Como a área de cada novo triângulo formado é 1/4 da área do triângulo anterior, a soma das áreas dos 78 primeiros triângulos será:
6 + 6/4 + 6/16 + ... + 6/4^77.
Para facilitar o cálculo, podemos reescrever a soma como:
6 * (1 + 1/4 + 1/16 + ... + 1/4^77).
Essa é uma soma de uma progressão geométrica finita, cuja fórmula para a soma é dada por:
S = a * (1 - r^n) / (1 - r), onde a é o primeiro termo, r é a razão e n é o número de termos.
Nesse caso, a = 1, r = 1/4 e n = 78. Substituindo na fórmula, temos:
S = 6 * (1 - (1/4)^78) / (1 - 1/4).
Calculando o valor mais próximo da soma das áreas dos 78 primeiros triângulos, temos:
S ≈ 6 * (1 - 1.0842e-47) / (3/4) ≈ 6 * (1 - 0) / (3/4) = 6 * 4/3 = 8 cm².
Portanto, o valor mais próximo da soma das áreas dos 78 primeiros triângulos é 8 cm², o que corresponde à alternativa a).
Gabarito: a)
O triângulo inicial é um triângulo retângulo, pois obedece à relação de Pitágoras: 3² + 4² = 5².
Como os pontos médios dos lados de um triângulo são os vértices do seguinte, a cada novo triângulo formado teremos um triângulo semelhante ao anterior, porém com a área reduzida a 1/4 da área do triângulo anterior.
A área de um triângulo pode ser calculada pela fórmula de Herão:
Área = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)), onde p é o semiperímetro do triângulo e a, b e c são os lados do triângulo.
Para o triângulo inicial com lados 3, 4 e 5, temos p = (3 + 4 + 5) / 2 = 6, então a área do triângulo inicial é:
Área = √(6 * (6 - 3) * (6 - 4) * (6 - 5)) = √(6 * 3 * 2 * 1) = √36 = 6 cm².
Como a área de cada novo triângulo formado é 1/4 da área do triângulo anterior, a soma das áreas dos 78 primeiros triângulos será:
6 + 6/4 + 6/16 + ... + 6/4^77.
Para facilitar o cálculo, podemos reescrever a soma como:
6 * (1 + 1/4 + 1/16 + ... + 1/4^77).
Essa é uma soma de uma progressão geométrica finita, cuja fórmula para a soma é dada por:
S = a * (1 - r^n) / (1 - r), onde a é o primeiro termo, r é a razão e n é o número de termos.
Nesse caso, a = 1, r = 1/4 e n = 78. Substituindo na fórmula, temos:
S = 6 * (1 - (1/4)^78) / (1 - 1/4).
Calculando o valor mais próximo da soma das áreas dos 78 primeiros triângulos, temos:
S ≈ 6 * (1 - 1.0842e-47) / (3/4) ≈ 6 * (1 - 0) / (3/4) = 6 * 4/3 = 8 cm².
Portanto, o valor mais próximo da soma das áreas dos 78 primeiros triângulos é 8 cm², o que corresponde à alternativa a).
Gabarito: a)