Seja N uma base de numeração, e os números A = (100)N, B = (243...

Para resolver essa questão, vamos converter os números dados para a base decimal, a fim de facilitar os cálculos.

Dado que:
- A = (100)_N
- B = (243)_(N+1)
- C = (30)_N
- D = F₁₆
- E = (110)₂

Vamos converter cada um deles para a base decimal:

A = (100)_N = 1*N^2 + 0*N^1 + 0*N^0 = N^2
B = (243)_(N+1) = 2*(N+1)^2 + 4*(N+1)^1 + 3*(N+1)^0 = 2*(N^2 + 2N + 1) + 4*(N+1) + 3 = 2N^2 + 4N + 2 + 4N + 4 + 3 = 2N^2 + 8N + 9
C = (30)_N = 3*N^1 + 0*N^0 = 3N
D = F₁₆ = 15
E = (110)₂ = 1*2^2 + 1*2^1 + 0*2^0 = 4 + 2 + 0 = 6

Substituindo na equação B + D = A + E.C, temos:
2N^2 + 8N + 9 + 15 = N^2 + 6N
2N^2 + 8N + 24 = N^2 + 6N
N^2 + 2N - 24 = 0

Agora, vamos resolver a equação do segundo grau para encontrar os valores válidos de N:

N = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a
N = (-2 ± √(2^2 - 4*1*(-24))) / 2*1
N = (-2 ± √(4 + 96)) / 2
N = (-2 ± √100) / 2
N = (-2 ± 10) / 2

Temos duas soluções para N:
N = (10 - 2) / 2 = 8 / 2 = 4
N = (-10 - 2) / 2 = -12 / 2 = -6

Como a base de numeração não pode ser negativa, o valor válido para N é 4.

Portanto, o produto de valores válidos para a base N é 4.

Gabarito: a) 4