Por David Castilho em 05/01/2025 17:50:04🎓 Equipe Gabarite
Para resolver essa questão, vamos utilizar a fórmula que nos permite calcular o número de diagonais de um polígono regular, que é dada por \( \frac{n(n-3)}{2} \), onde \( n \) representa o número de lados do polígono.
Sabemos que o polígono possui 48 diagonais que não passam pelo seu centro. Portanto, o número total de diagonais do polígono será dado por \( \frac{n(n-3)}{2} - n \), pois estamos desconsiderando as diagonais que passam pelo centro.
Assim, temos a equação:
\( \frac{n(n-3)}{2} - n = 48 \)
Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de \( n \):
\( \frac{n^2 - 3n}{2} - n = 48 \)
\( n^2 - 3n - 2n = 96 \)
\( n^2 - 5n - 96 = 0 \)
Agora, vamos fatorar essa equação do segundo grau:
\( n^2 - 12n + 7n - 96 = 0 \)
\( n(n - 12) + 7(n - 12) = 0 \)
\( (n + 7)(n - 12) = 0 \)
Assim, temos duas possibilidades para \( n \):
\( n + 7 = 0 \) ou \( n - 12 = 0 \)
\( n = -7 \) ou \( n = 12 \)
Como o número de lados de um polígono não pode ser negativo, temos que o número de lados desse polígono é igual a 12.
Portanto, a resposta correta é:
Gabarito: a) 12
Sabemos que o polígono possui 48 diagonais que não passam pelo seu centro. Portanto, o número total de diagonais do polígono será dado por \( \frac{n(n-3)}{2} - n \), pois estamos desconsiderando as diagonais que passam pelo centro.
Assim, temos a equação:
\( \frac{n(n-3)}{2} - n = 48 \)
Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de \( n \):
\( \frac{n^2 - 3n}{2} - n = 48 \)
\( n^2 - 3n - 2n = 96 \)
\( n^2 - 5n - 96 = 0 \)
Agora, vamos fatorar essa equação do segundo grau:
\( n^2 - 12n + 7n - 96 = 0 \)
\( n(n - 12) + 7(n - 12) = 0 \)
\( (n + 7)(n - 12) = 0 \)
Assim, temos duas possibilidades para \( n \):
\( n + 7 = 0 \) ou \( n - 12 = 0 \)
\( n = -7 \) ou \( n = 12 \)
Como o número de lados de um polígono não pode ser negativo, temos que o número de lados desse polígono é igual a 12.
Portanto, a resposta correta é:
Gabarito: a) 12