Por Matheus Fernandes em 08/01/2025 21:41:52🎓 Equipe Gabarite
Para resolver essa questão, vamos chamar de \( x \) o número de pessoas que inicialmente iriam alugar a van.
Sabemos que o valor total do aluguel da van é de R$ 360,00. Se o grupo completo de \( x \) pessoas dividisse igualmente esse valor, cada pessoa pagaria \(\frac{360}{x}\) reais.
Quando três pessoas não puderam comparecer, o valor que cada pessoa teria que pagar aumentou em R$ 6,00. Ou seja, o novo valor que cada pessoa teria que pagar é \(\frac{360}{x-3}\) reais.
Com isso, podemos montar a equação:
\[\frac{360}{x} = \frac{360}{x-3} + 6\]
Multiplicando todos os termos da equação por \(x(x-3)\) para eliminar os denominadores, temos:
\[360(x-3) = 360x + 6x(x-3)\]
\[360x - 1080 = 360x + 6x^2 - 18x\]
\[0 = 6x^2 - 18x + 1080\]
\[0 = x^2 - 3x + 180\]
Agora, vamos resolver essa equação do segundo grau.
Calculando o discriminante:
\[\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 180\]
\[\Delta = 9 - 720\]
\[\Delta = -711\]
Como o discriminante é negativo, a equação não possui raízes reais. Portanto, algo está errado na resolução. Vamos rever o problema.
Se o grupo completo teve que contribuir com R$ 6,00 a mais cada um, isso significa que o valor inicial por pessoa era de \(\frac{360}{x} + 6\) reais.
Assim, a equação correta seria:
\[\frac{360}{x} + 6 = \frac{360}{x-3}\]
Vamos resolver essa nova equação:
\[\frac{360}{x} + 6 = \frac{360}{x-3}\]
\[360(x-3) + 6x(x-3) = 360x\]
\[360x - 1080 + 6x^2 - 18x = 360x\]
\[6x^2 - 18x - 1080 = 0\]
\[x^2 - 3x - 180 = 0\]
Agora, vamos resolver essa equação do segundo grau:
\[\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180)\]
\[\Delta = 9 + 720\]
\[\Delta = 729\]
\[x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{729}}{2 \cdot 1}\]
\[x = \frac{3 \pm 27}{2}\]
Temos duas possibilidades:
1) \(x = \frac{3 + 27}{2} = 15\)
2) \(x = \frac{3 - 27}{2} = -12\) (não faz sentido no contexto do problema)
Portanto, o grupo completo tem 15 pessoas.
Gabarito: e) 15 pessoas.
Sabemos que o valor total do aluguel da van é de R$ 360,00. Se o grupo completo de \( x \) pessoas dividisse igualmente esse valor, cada pessoa pagaria \(\frac{360}{x}\) reais.
Quando três pessoas não puderam comparecer, o valor que cada pessoa teria que pagar aumentou em R$ 6,00. Ou seja, o novo valor que cada pessoa teria que pagar é \(\frac{360}{x-3}\) reais.
Com isso, podemos montar a equação:
\[\frac{360}{x} = \frac{360}{x-3} + 6\]
Multiplicando todos os termos da equação por \(x(x-3)\) para eliminar os denominadores, temos:
\[360(x-3) = 360x + 6x(x-3)\]
\[360x - 1080 = 360x + 6x^2 - 18x\]
\[0 = 6x^2 - 18x + 1080\]
\[0 = x^2 - 3x + 180\]
Agora, vamos resolver essa equação do segundo grau.
Calculando o discriminante:
\[\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 180\]
\[\Delta = 9 - 720\]
\[\Delta = -711\]
Como o discriminante é negativo, a equação não possui raízes reais. Portanto, algo está errado na resolução. Vamos rever o problema.
Se o grupo completo teve que contribuir com R$ 6,00 a mais cada um, isso significa que o valor inicial por pessoa era de \(\frac{360}{x} + 6\) reais.
Assim, a equação correta seria:
\[\frac{360}{x} + 6 = \frac{360}{x-3}\]
Vamos resolver essa nova equação:
\[\frac{360}{x} + 6 = \frac{360}{x-3}\]
\[360(x-3) + 6x(x-3) = 360x\]
\[360x - 1080 + 6x^2 - 18x = 360x\]
\[6x^2 - 18x - 1080 = 0\]
\[x^2 - 3x - 180 = 0\]
Agora, vamos resolver essa equação do segundo grau:
\[\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180)\]
\[\Delta = 9 + 720\]
\[\Delta = 729\]
\[x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{729}}{2 \cdot 1}\]
\[x = \frac{3 \pm 27}{2}\]
Temos duas possibilidades:
1) \(x = \frac{3 + 27}{2} = 15\)
2) \(x = \frac{3 - 27}{2} = -12\) (não faz sentido no contexto do problema)
Portanto, o grupo completo tem 15 pessoas.
Gabarito: e) 15 pessoas.