Por Matheus Fernandes em 05/01/2025 09:45:06🎓 Equipe Gabarite
Para resolver essa questão, vamos primeiro entender o conceito de progressão aritmética (PA) e como ele se aplica ao número de arestas dos poliedros convexos dados.
Uma progressão aritmética é uma sequência de números onde a diferença entre um termo e o seu antecessor é sempre a mesma. Ou seja, se denotarmos o primeiro termo da progressão por \(a_1\) e a razão da progressão por \(r\), então os termos da progressão serão dados por: \(a_1\), \(a_1 + r\), \(a_1 + 2r\), \(a_1 + 3r\), e assim por diante.
No caso dos poliedros convexos A, B e C, temos que o número de arestas de cada um deles forma uma progressão aritmética. Vamos denotar o número de arestas de A, B e C por \(a_1\), \(a_1 + r\) e \(a_1 + 2r\), respectivamente.
Dado que:
- Poliedro A tem 4 vértices e 4 faces, então o número de arestas é dado por \(a_1 = V + F - 2 = 4 + 4 - 2 = 6\).
- Poliedro B tem 8 vértices e 6 faces, então o número de arestas é dado por \(a_1 + r = V + F - 2 = 8 + 6 - 2 = 12\).
- Poliedro C tem 12 vértices e 8 faces, então o número de arestas é dado por \(a_1 + 2r = V + F - 2 = 12 + 8 - 2 = 18\).
Agora, vamos resolver o sistema de equações formado pelas expressões acima para encontrar o valor de \(r\).
1) \(a_1 = 6\)
2) \(a_1 + r = 12\)
3) \(a_1 + 2r = 18\)
Subtraindo a equação 1) da equação 2), obtemos:
\(r = 12 - 6 = 6\)
Portanto, a razão da progressão aritmética é \(r = 6\), o que corresponde à alternativa:
Gabarito: c) 6.
Uma progressão aritmética é uma sequência de números onde a diferença entre um termo e o seu antecessor é sempre a mesma. Ou seja, se denotarmos o primeiro termo da progressão por \(a_1\) e a razão da progressão por \(r\), então os termos da progressão serão dados por: \(a_1\), \(a_1 + r\), \(a_1 + 2r\), \(a_1 + 3r\), e assim por diante.
No caso dos poliedros convexos A, B e C, temos que o número de arestas de cada um deles forma uma progressão aritmética. Vamos denotar o número de arestas de A, B e C por \(a_1\), \(a_1 + r\) e \(a_1 + 2r\), respectivamente.
Dado que:
- Poliedro A tem 4 vértices e 4 faces, então o número de arestas é dado por \(a_1 = V + F - 2 = 4 + 4 - 2 = 6\).
- Poliedro B tem 8 vértices e 6 faces, então o número de arestas é dado por \(a_1 + r = V + F - 2 = 8 + 6 - 2 = 12\).
- Poliedro C tem 12 vértices e 8 faces, então o número de arestas é dado por \(a_1 + 2r = V + F - 2 = 12 + 8 - 2 = 18\).
Agora, vamos resolver o sistema de equações formado pelas expressões acima para encontrar o valor de \(r\).
1) \(a_1 = 6\)
2) \(a_1 + r = 12\)
3) \(a_1 + 2r = 18\)
Subtraindo a equação 1) da equação 2), obtemos:
\(r = 12 - 6 = 6\)
Portanto, a razão da progressão aritmética é \(r = 6\), o que corresponde à alternativa:
Gabarito: c) 6.