Por Camila Duarte em 07/01/2025 09:32:38🎓 Equipe Gabarite
Para resolver essa questão, podemos utilizar o Teorema de Pitágoras, que é uma relação matemática fundamental em triângulos retângulos. O teorema afirma que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Ou seja, se denotarmos os catetos como \(a\) e \(b\) e a hipotenusa como \(c\), temos a seguinte equação:
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
Sabemos que a hipotenusa \(c\) tem 25 cm. Além disso, sabemos que um dos catetos é 5 cm maior que o outro. Vamos chamar o cateto menor de \(x\) cm. Portanto, o cateto maior será \(x + 5\) cm.
Substituindo na equação do Teorema de Pitágoras, temos:
\[ x^2 + (x + 5)^2 = 25^2 \]
\[ x^2 + x^2 + 10x + 25 = 625 \]
\[ 2x^2 + 10x - 600 = 0 \]
Agora, vamos resolver essa equação do segundo grau para encontrar o valor de \(x\).
\[ 2x^2 + 10x - 600 = 0 \]
\[ x^2 + 5x - 300 = 0 \]
Fatorando a equação, encontramos:
\[ (x - 15)(x + 20) = 0 \]
Portanto, as soluções para \(x\) são \(x = 15\) e \(x = -20\). Como não faz sentido ter um cateto negativo, o valor de \(x\) é 15 cm.
Assim, o cateto menor mede 15 cm e o cateto maior, que é 5 cm maior que o menor, mede 20 cm.
Portanto, a resposta correta é:
Gabarito: a) 15 cm e 20 cm
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
Sabemos que a hipotenusa \(c\) tem 25 cm. Além disso, sabemos que um dos catetos é 5 cm maior que o outro. Vamos chamar o cateto menor de \(x\) cm. Portanto, o cateto maior será \(x + 5\) cm.
Substituindo na equação do Teorema de Pitágoras, temos:
\[ x^2 + (x + 5)^2 = 25^2 \]
\[ x^2 + x^2 + 10x + 25 = 625 \]
\[ 2x^2 + 10x - 600 = 0 \]
Agora, vamos resolver essa equação do segundo grau para encontrar o valor de \(x\).
\[ 2x^2 + 10x - 600 = 0 \]
\[ x^2 + 5x - 300 = 0 \]
Fatorando a equação, encontramos:
\[ (x - 15)(x + 20) = 0 \]
Portanto, as soluções para \(x\) são \(x = 15\) e \(x = -20\). Como não faz sentido ter um cateto negativo, o valor de \(x\) é 15 cm.
Assim, o cateto menor mede 15 cm e o cateto maior, que é 5 cm maior que o menor, mede 20 cm.
Portanto, a resposta correta é:
Gabarito: a) 15 cm e 20 cm