A respeito de números reais e de funções de variáveis reais, julgue os itens que se ...

O gabarito de vocês está errado. Vou explicar. (log3x)^2 = log3x + 6 ( trata-se de uma equação logarítmica de 2° grau),logo podemos fazer o seguinte: log3 x= N. substituindo por N log3 x na equação, temos: N^2=N+6 ----> N^2-N-6=0. Resolvendo a equação do segundo grau, temos: ?=b^2- 4ac
?=(-1)^2- 4.(1).(-6) ----> ?=25 onde: N= -b+-? ?/2a N= 1+- 5/2(1) ----> N=3 ou N'= -2. Trocando N no logaritmo log 3 x= N temos: (sendo N=3): log3 x = 3
3^3= x ---> x= 27.(sendo N= -2): log 3 x = -2 ----> 3^-2= x ----> 1/3^2 = x x= 1/9, ou seja, conforme demonstrado, a resposta certa é CERTO.

Primeiro, lembre-se que logb(a) = c -> b^c = a
Ou seja,
log3(x) = N
-N^2 + N + 6
N^2 - N - 6
Delta = 25
Bhaskara:
-b +- raiz de delta/2*a

1 + 5/2
x1 = 3
x2 = -2

log3(x) = 3
3^3 = x
x = 27

log3(x) = -2
3^-2 = x
(1/3)^2 = x
x = 1/9

Gabarito: a) Certo

Para resolver a equação \((\log_3 x)^2 = \log_3 x + 6\), podemos fazer uma substituição para simplificar a equação. Definindo \(y = \log_3 x\), a equação se transforma em \(y^2 = y + 6\). Reorganizando os termos, obtemos a equação quadrática \(y^2 - y - 6 = 0\).

Podemos resolver essa equação quadrática utilizando a fórmula de Bhaskara:
\[
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
onde \(a = 1\), \(b = -1\), e \(c = -6\). Calculando o discriminante:
\[
b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-6) = 1 + 24 = 25
\]
Assim, as soluções para \(y\) são:
\[
y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{25}}{2 \times 1} = \frac{1 \pm 5}{2}
\]
Portanto, \(y = 3\) ou \(y = -2\).

Revertendo a substituição, temos:
\[
\log_3 x = 3 \quad \text{ou} \quad \log_3 x = -2
\]
Isso implica que:
\[
x = 3^3 = 27 \quad \text{ou} \quad x = 3^{-2} = \frac{1}{9}
\]
Portanto, as únicas soluções da equação original são \(x = 27\) e \(x = \frac{1}{9}\), confirmando a afirmação do enunciado.