Por Matheus Fernandes em 08/01/2025 02:37:33🎓 Equipe Gabarite
Para resolver esse problema, podemos utilizar a semelhança de triângulos para relacionar as taxas de variação do volume e da altura da água no funil.
Dados do problema:
- Diâmetro da parte superior do funil (base maior) = 30 cm
- Altura do funil = 40 cm
- Taxa de alimentação de água = 1,5 litros por segundo = 1500 cm³/s
- Vazão de água = 800 cm³/s
- Altura da água no funil = 25 cm
Vamos denotar:
- \( r \) como o raio da parte superior do funil
- \( h \) como a altura da água no funil
- \( V \) como o volume de água no funil
O volume de um cone é dado por \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \).
Derivando em relação ao tempo \( t \), obtemos \( \frac{dV}{dt} = \frac{1}{3} \pi (2r \frac{dr}{dt} h + r^2 \frac{dh}{dt}) \).
Sabemos que \( \frac{dV}{dt} = 800 \) cm³/s e \( \frac{dh}{dt} \) é o que queremos encontrar.
A partir da semelhança de triângulos, temos que \( \frac{r}{h} = \frac{30}{40} \), ou seja, \( r = \frac{3}{4} h \).
Substituindo \( r = \frac{3}{4} h \) na equação do volume e derivando em relação a \( t \), obtemos:
\( \frac{dV}{dt} = \frac{1}{3} \pi (\frac{3}{2} h \frac{dh}{dt} h + (\frac{3}{4} h)^2 \frac{dh}{dt}) \).
Simplificando e substituindo os valores conhecidos, temos:
\( 800 = \frac{1}{3} \pi (\frac{3}{2} \cdot 25 \cdot \frac{dh}{dt} \cdot 25 + (\frac{3}{4} \cdot 25)^2 \cdot \frac{dh}{dt}) \).
Resolvendo essa equação, encontramos \( \frac{dh}{dt} = \frac{1792}{225} \) cm/s.
Portanto, a resposta correta é:
Gabarito: b) \( \frac{1792}{225} \) cm/s.
Dados do problema:
- Diâmetro da parte superior do funil (base maior) = 30 cm
- Altura do funil = 40 cm
- Taxa de alimentação de água = 1,5 litros por segundo = 1500 cm³/s
- Vazão de água = 800 cm³/s
- Altura da água no funil = 25 cm
Vamos denotar:
- \( r \) como o raio da parte superior do funil
- \( h \) como a altura da água no funil
- \( V \) como o volume de água no funil
O volume de um cone é dado por \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \).
Derivando em relação ao tempo \( t \), obtemos \( \frac{dV}{dt} = \frac{1}{3} \pi (2r \frac{dr}{dt} h + r^2 \frac{dh}{dt}) \).
Sabemos que \( \frac{dV}{dt} = 800 \) cm³/s e \( \frac{dh}{dt} \) é o que queremos encontrar.
A partir da semelhança de triângulos, temos que \( \frac{r}{h} = \frac{30}{40} \), ou seja, \( r = \frac{3}{4} h \).
Substituindo \( r = \frac{3}{4} h \) na equação do volume e derivando em relação a \( t \), obtemos:
\( \frac{dV}{dt} = \frac{1}{3} \pi (\frac{3}{2} h \frac{dh}{dt} h + (\frac{3}{4} h)^2 \frac{dh}{dt}) \).
Simplificando e substituindo os valores conhecidos, temos:
\( 800 = \frac{1}{3} \pi (\frac{3}{2} \cdot 25 \cdot \frac{dh}{dt} \cdot 25 + (\frac{3}{4} \cdot 25)^2 \cdot \frac{dh}{dt}) \).
Resolvendo essa equação, encontramos \( \frac{dh}{dt} = \frac{1792}{225} \) cm/s.
Portanto, a resposta correta é:
Gabarito: b) \( \frac{1792}{225} \) cm/s.