A receita mensal R, em milhares de reais, obtida com a venda de certo aparelho de barbe...

Para encontrar o número de aparelhos vendidos quando a receita é máxima, precisamos primeiro determinar o preço unitário que maximiza a receita. A receita é dada pela função R(p) = -0,5p^2 + 30p.

Para encontrar o preço que maximiza a receita, devemos derivar a função receita em relação ao preço e igualar a zero, pois a receita é máxima quando a sua taxa de variação é nula.

Vamos derivar a função R(p) em relação a p:

R'(p) = d/dp (-0,5p^2 + 30p)
R'(p) = -1 * 0,5 * 2p + 30
R'(p) = -p + 30

Agora igualamos a derivada a zero para encontrar o preço que maximiza a receita:

-p + 30 = 0
-p = -30
p = 30

Portanto, o preço unitário que maximiza a receita é p = 30 reais.

Para encontrar o número de aparelhos vendidos, basta substituir o preço encontrado na função de receita R(p):

R(30) = -0,5 * 30^2 + 30 * 30
R(30) = -0,5 * 900 + 900
R(30) = -450 + 900
R(30) = 450

Assim, a receita máxima é de 450 mil reais.

Para encontrar o número de aparelhos vendidos, dividimos a receita máxima pelo preço unitário:

450 / 30 = 15

Portanto, o número de aparelhos vendidos quando a receita é máxima é de 15.000 aparelhos.

Gabarito: c) 15.000 aparelhos