Por Marcos de Castro em 07/01/2025 13:41:55🎓 Equipe Gabarite
Para determinar o conjunto domínio e o conjunto imagem da função \( y = f(x) = x^2 + 2x - 15 \), vamos analisar cada um separadamente:
1. Conjunto Domínio (D(f)):
O conjunto domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de \( x \) para os quais a função é definida. No caso da função dada, como se trata de uma função polinomial, ela é definida para todos os números reais. Portanto, o conjunto domínio é:
\[ D(f) = \mathbb{R} \]
2. Conjunto Imagem (Im(f)):
O conjunto imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir para \( y \). Para determinar o conjunto imagem, podemos analisar o vértice da parábola representada pela função quadrática. A fórmula do vértice de uma parábola \( y = ax^2 + bx + c \) é dada por \( x_v = \frac{-b}{2a} \) e \( y_v = f(x_v) \).
Para a função dada \( f(x) = x^2 + 2x - 15 \):
\[ a = 1, b = 2, c = -15 \]
Calculando o vértice:
\[ x_v = \frac{-2}{2*1} = -1 \]
\[ y_v = f(-1) = (-1)^2 + 2*(-1) - 15 = -1 - 2 - 15 = -18 \]
Assim, o vértice da parábola é \( V(-1, -18) \). Portanto, o valor mínimo que a função pode assumir é \( y = -18 \). Logo, o conjunto imagem da função é:
\[ Im(f) = [-18, +\infty[ \]
Portanto, a alternativa correta é:
Gabarito: c) D(f) = R e Im(f) = [-18, +\infty[
1. Conjunto Domínio (D(f)):
O conjunto domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de \( x \) para os quais a função é definida. No caso da função dada, como se trata de uma função polinomial, ela é definida para todos os números reais. Portanto, o conjunto domínio é:
\[ D(f) = \mathbb{R} \]
2. Conjunto Imagem (Im(f)):
O conjunto imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir para \( y \). Para determinar o conjunto imagem, podemos analisar o vértice da parábola representada pela função quadrática. A fórmula do vértice de uma parábola \( y = ax^2 + bx + c \) é dada por \( x_v = \frac{-b}{2a} \) e \( y_v = f(x_v) \).
Para a função dada \( f(x) = x^2 + 2x - 15 \):
\[ a = 1, b = 2, c = -15 \]
Calculando o vértice:
\[ x_v = \frac{-2}{2*1} = -1 \]
\[ y_v = f(-1) = (-1)^2 + 2*(-1) - 15 = -1 - 2 - 15 = -18 \]
Assim, o vértice da parábola é \( V(-1, -18) \). Portanto, o valor mínimo que a função pode assumir é \( y = -18 \). Logo, o conjunto imagem da função é:
\[ Im(f) = [-18, +\infty[ \]
Portanto, a alternativa correta é:
Gabarito: c) D(f) = R e Im(f) = [-18, +\infty[