Para que os pontos A(x,3), B(–2x,0) e C(1,1) sejam colineares, é necessário que x seja

Para que os pontos A(x,3), B(–2x,0) e C(1,1) sejam colineares, significa que eles precisam estar alinhados na mesma reta.

Dois pontos quaisquer determinam uma reta, então podemos calcular a inclinação da reta que passa por A e B, e a inclinação da reta que passa por B e C. Se essas inclinações forem iguais, os pontos são colineares.

A inclinação de uma reta que passa pelos pontos A(x1, y1) e B(x2, y2) é dada por m = (y2 - y1) / (x2 - x1).

Vamos calcular a inclinação da reta que passa por A e B:
m1 = (0 - 3) / (-2x - x)
m1 = -3 / (-3x)
m1 = 1/x

Agora vamos calcular a inclinação da reta que passa por B e C:
m2 = (1 - 0) / (1 - (-2x))
m2 = 1 / (1 + 2x)
m2 = 1 / (2x + 1)

Para que os pontos sejam colineares, as inclinações devem ser iguais, ou seja:
1/x = 1 / (2x + 1)

Multiplicando cruzado, temos:
x = 2x + 1
x - 2x = 1
-x = 1
x = -1

Portanto, a resposta correta é:

Gabarito: b) -1