Por Marcos de Castro em 03/01/2025 12:29:27🎓 Equipe Gabarite
Para resolver essa questão, podemos utilizar a distribuição binomial, que é aplicável quando temos um experimento com apenas dois resultados possíveis (sucesso ou fracasso), uma quantidade fixa de tentativas e a probabilidade de sucesso constante em cada tentativa.
Neste caso, o sucesso é uma chamada de serviço ser atendida em menos de 1 hora, com probabilidade de 50% (ou 0,5). Vamos considerar que uma chamada atendida em menos de 1 hora é um sucesso e uma chamada não atendida em menos de 1 hora é um fracasso.
Para calcular a probabilidade de pelo menos 3 chamadas serem atendidas em menos de 1 hora, podemos calcular a probabilidade de exatamente 3 chamadas, exatamente 4 chamadas e exatamente 5 chamadas, e somar esses resultados.
A fórmula para a distribuição binomial é dada por:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} \times p^k \times (1-p)^{n-k} \]
Onde:
- \( n \) é o número total de tentativas (5 chamadas)
- \( k \) é o número de sucessos desejados (3, 4 ou 5 chamadas)
- \( p \) é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa (0,5)
- \( \binom{n}{k} \) é o coeficiente binomial, que representa o número de combinações de \( n \) elementos tomados \( k \) a \( k \)
Vamos calcular a probabilidade para cada caso:
1. Para \( k = 3 \):
\[ P(X = 3) = \binom{5}{3} \times 0,5^3 \times (1-0,5)^{5-3} \]
\[ P(X = 3) = 10 \times 0,125 \times 0,25 \]
\[ P(X = 3) = 0,3125 \]
2. Para \( k = 4 \):
\[ P(X = 4) = \binom{5}{4} \times 0,5^4 \times (1-0,5)^{5-4} \]
\[ P(X = 4) = 5 \times 0,0625 \times 0,5 \]
\[ P(X = 4) = 0,15625 \]
3. Para \( k = 5 \):
\[ P(X = 5) = \binom{5}{5} \times 0,5^5 \times (1-0,5)^{5-5} \]
\[ P(X = 5) = 1 \times 0,03125 \times 1 \]
\[ P(X = 5) = 0,03125 \]
Agora, somamos essas probabilidades:
\[ P(\text{pelo menos 3 chamadas}) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) \]
\[ P(\text{pelo menos 3 chamadas}) = 0,3125 + 0,15625 + 0,03125 \]
\[ P(\text{pelo menos 3 chamadas}) = 0,5 \]
Portanto, a probabilidade de que pelo menos 3 chamadas sejam atendidas em menos de 1 hora é de 50%.
Gabarito: a) 50,00%
Neste caso, o sucesso é uma chamada de serviço ser atendida em menos de 1 hora, com probabilidade de 50% (ou 0,5). Vamos considerar que uma chamada atendida em menos de 1 hora é um sucesso e uma chamada não atendida em menos de 1 hora é um fracasso.
Para calcular a probabilidade de pelo menos 3 chamadas serem atendidas em menos de 1 hora, podemos calcular a probabilidade de exatamente 3 chamadas, exatamente 4 chamadas e exatamente 5 chamadas, e somar esses resultados.
A fórmula para a distribuição binomial é dada por:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} \times p^k \times (1-p)^{n-k} \]
Onde:
- \( n \) é o número total de tentativas (5 chamadas)
- \( k \) é o número de sucessos desejados (3, 4 ou 5 chamadas)
- \( p \) é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa (0,5)
- \( \binom{n}{k} \) é o coeficiente binomial, que representa o número de combinações de \( n \) elementos tomados \( k \) a \( k \)
Vamos calcular a probabilidade para cada caso:
1. Para \( k = 3 \):
\[ P(X = 3) = \binom{5}{3} \times 0,5^3 \times (1-0,5)^{5-3} \]
\[ P(X = 3) = 10 \times 0,125 \times 0,25 \]
\[ P(X = 3) = 0,3125 \]
2. Para \( k = 4 \):
\[ P(X = 4) = \binom{5}{4} \times 0,5^4 \times (1-0,5)^{5-4} \]
\[ P(X = 4) = 5 \times 0,0625 \times 0,5 \]
\[ P(X = 4) = 0,15625 \]
3. Para \( k = 5 \):
\[ P(X = 5) = \binom{5}{5} \times 0,5^5 \times (1-0,5)^{5-5} \]
\[ P(X = 5) = 1 \times 0,03125 \times 1 \]
\[ P(X = 5) = 0,03125 \]
Agora, somamos essas probabilidades:
\[ P(\text{pelo menos 3 chamadas}) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) \]
\[ P(\text{pelo menos 3 chamadas}) = 0,3125 + 0,15625 + 0,03125 \]
\[ P(\text{pelo menos 3 chamadas}) = 0,5 \]
Portanto, a probabilidade de que pelo menos 3 chamadas sejam atendidas em menos de 1 hora é de 50%.
Gabarito: a) 50,00%