Por David Castilho em 05/01/2025 03:09:27🎓 Equipe Gabarite
Para resolver essa questão, vamos utilizar o Teorema Fundamental da Álgebra, que afirma que toda equação polinomial de grau \( n \) possui exatamente \( n \) raízes complexas, contadas com suas respectivas multiplicidades.
Sabemos que se uma equação polinomial tiver coeficientes reais e uma raiz complexa, então o seu conjugado também será raiz da equação.
Dado que uma das raízes da equação é \( 2 + 3i \), sabemos que a outra raiz será o seu conjugado, ou seja, \( 2 - 3i \).
A partir das raízes, podemos montar a equação do segundo grau. Seja a equação \( ax^2 + bx + c = 0 \), as raízes \( x_1 \) e \( x_2 \), temos que:
\[ a(x - x_1)(x - x_2) = 0 \]
Substituindo os valores das raízes na equação acima, temos:
\[ a(x - (2 + 3i))(x - (2 - 3i)) = 0 \]
\[ a((x - 2 - 3i)(x - 2 + 3i)) = 0 \]
\[ a((x - 2)^2 - (3i)^2) = 0 \]
\[ a(x^2 - 4x + 4 - 9i^2) = 0 \]
Lembrando que \( i^2 = -1 \), temos:
\[ a(x^2 - 4x + 4 + 9) = 0 \]
\[ a(x^2 - 4x + 13) = 0 \]
Portanto, a equação de 2º grau, com coeficientes reais, que tem uma das raízes igual a \( 2 + 3i \) é:
\[ x^2 - 4x + 13 = 0 \]
Assim, o gabarito correto é a alternativa:
Gabarito: e) x² - 4x + 13 = 0
Sabemos que se uma equação polinomial tiver coeficientes reais e uma raiz complexa, então o seu conjugado também será raiz da equação.
Dado que uma das raízes da equação é \( 2 + 3i \), sabemos que a outra raiz será o seu conjugado, ou seja, \( 2 - 3i \).
A partir das raízes, podemos montar a equação do segundo grau. Seja a equação \( ax^2 + bx + c = 0 \), as raízes \( x_1 \) e \( x_2 \), temos que:
\[ a(x - x_1)(x - x_2) = 0 \]
Substituindo os valores das raízes na equação acima, temos:
\[ a(x - (2 + 3i))(x - (2 - 3i)) = 0 \]
\[ a((x - 2 - 3i)(x - 2 + 3i)) = 0 \]
\[ a((x - 2)^2 - (3i)^2) = 0 \]
\[ a(x^2 - 4x + 4 - 9i^2) = 0 \]
Lembrando que \( i^2 = -1 \), temos:
\[ a(x^2 - 4x + 4 + 9) = 0 \]
\[ a(x^2 - 4x + 13) = 0 \]
Portanto, a equação de 2º grau, com coeficientes reais, que tem uma das raízes igual a \( 2 + 3i \) é:
\[ x^2 - 4x + 13 = 0 \]
Assim, o gabarito correto é a alternativa:
Gabarito: e) x² - 4x + 13 = 0