
Por Matheus Fernandes em 30/12/2024 14:36:01🎓 Equipe Gabarite
Para resolver essa expressão trigonométrica, vamos utilizar as identidades trigonométricas fundamentais:
1. Identidade Fundamental da Trigonometria: sen²α + cos²α = 1
2. Identidade Fundamental da Trigonometria: cos²α = 1 - sen²α
Vamos substituir a segunda identidade na expressão dada:
cos⁴α - sen⁴α + cos²α - sen²α = (1 - sen²α)² - sen⁴α + cos²α - sen²α
Expandindo o quadrado do binômio (1 - sen²α)², temos:
1 - 2sen²α + sen⁴α - sen⁴α + cos²α - sen²α
Simplificando a expressão, temos:
1 - 2sen²α + cos²α - sen²α
Agora, vamos utilizar a identidade trigonométrica sen²α + cos²α = 1:
1 - 2sen²α + (1 - sen²α) - sen²α
1 - 2sen²α + 1 - sen²α - sen²α
2 - 4sen²α
Portanto, a expressão cos⁴α - sen⁴α + cos²α - sen²α é idêntica a 2 - 4sen²α, que pode ser reescrita como 2(1 - 2sen²α).
Assim, a resposta correta é:
Gabarito: a) 2 . cos 2α
1. Identidade Fundamental da Trigonometria: sen²α + cos²α = 1
2. Identidade Fundamental da Trigonometria: cos²α = 1 - sen²α
Vamos substituir a segunda identidade na expressão dada:
cos⁴α - sen⁴α + cos²α - sen²α = (1 - sen²α)² - sen⁴α + cos²α - sen²α
Expandindo o quadrado do binômio (1 - sen²α)², temos:
1 - 2sen²α + sen⁴α - sen⁴α + cos²α - sen²α
Simplificando a expressão, temos:
1 - 2sen²α + cos²α - sen²α
Agora, vamos utilizar a identidade trigonométrica sen²α + cos²α = 1:
1 - 2sen²α + (1 - sen²α) - sen²α
1 - 2sen²α + 1 - sen²α - sen²α
2 - 4sen²α
Portanto, a expressão cos⁴α - sen⁴α + cos²α - sen²α é idêntica a 2 - 4sen²α, que pode ser reescrita como 2(1 - 2sen²α).
Assim, a resposta correta é:
Gabarito: a) 2 . cos 2α