(PUC-RS) A expressão cos4 α – sen4 α + cos2 ...

Para resolver essa expressão trigonométrica, vamos utilizar as identidades trigonométricas fundamentais:

1. Identidade Fundamental da Trigonometria: sen²α + cos²α = 1

2. Identidade Fundamental da Trigonometria: cos²α = 1 - sen²α

Vamos substituir a segunda identidade na expressão dada:

cos⁴α - sen⁴α + cos²α - sen²α = (1 - sen²α)² - sen⁴α + cos²α - sen²α

Expandindo o quadrado do binômio (1 - sen²α)², temos:

1 - 2sen²α + sen⁴α - sen⁴α + cos²α - sen²α

Simplificando a expressão, temos:

1 - 2sen²α + cos²α - sen²α

Agora, vamos utilizar a identidade trigonométrica sen²α + cos²α = 1:

1 - 2sen²α + (1 - sen²α) - sen²α

1 - 2sen²α + 1 - sen²α - sen²α

2 - 4sen²α

Portanto, a expressão cos⁴α - sen⁴α + cos²α - sen²α é idêntica a 2 - 4sen²α, que pode ser reescrita como 2(1 - 2sen²α).

Assim, a resposta correta é:

Gabarito: a) 2 . cos 2α