Por David Castilho em 05/01/2025 07:00:45🎓 Equipe Gabarite
Para resolver essa questão, vamos analisar as figuras apresentadas. Temos um cubo com centro em O e uma pirâmide de base ABCD e vértice em O.
Sabemos que o volume de um cubo é dado pela fórmula Vcubo = aresta^3. Como o volume do cubo é 1, temos que a aresta do cubo é a = 1.
Agora, vamos calcular o volume da pirâmide. O volume de uma pirâmide é dado pela fórmula Vpiramide = 1/3 * área da base * altura.
Na pirâmide em questão, a base é um quadrado de lado a (que é a aresta do cubo) e a altura é a distância do vértice O ao plano da base. Como O é o centro do cubo, essa distância é a metade da diagonal do cubo.
A diagonal do cubo pode ser calculada utilizando o teorema de Pitágoras em um triângulo retângulo formado por duas arestas do cubo e a diagonal. Assim, a diagonal do cubo é d = √(a^2 + a^2) = √2.
A altura da pirâmide é a metade da diagonal, ou seja, h = √2 / 2.
A área da base da pirâmide é o quadrado da aresta, ou seja, A = a^2 = 1.
Substituindo na fórmula do volume da pirâmide, temos:
Vpiramide = 1/3 * 1 * √2 / 2 = √2 / 6.
Portanto, o volume da pirâmide de base ABCD e vértice O é √2 / 6, que corresponde à alternativa:
Gabarito: d) 1/6
Sabemos que o volume de um cubo é dado pela fórmula Vcubo = aresta^3. Como o volume do cubo é 1, temos que a aresta do cubo é a = 1.
Agora, vamos calcular o volume da pirâmide. O volume de uma pirâmide é dado pela fórmula Vpiramide = 1/3 * área da base * altura.
Na pirâmide em questão, a base é um quadrado de lado a (que é a aresta do cubo) e a altura é a distância do vértice O ao plano da base. Como O é o centro do cubo, essa distância é a metade da diagonal do cubo.
A diagonal do cubo pode ser calculada utilizando o teorema de Pitágoras em um triângulo retângulo formado por duas arestas do cubo e a diagonal. Assim, a diagonal do cubo é d = √(a^2 + a^2) = √2.
A altura da pirâmide é a metade da diagonal, ou seja, h = √2 / 2.
A área da base da pirâmide é o quadrado da aresta, ou seja, A = a^2 = 1.
Substituindo na fórmula do volume da pirâmide, temos:
Vpiramide = 1/3 * 1 * √2 / 2 = √2 / 6.
Portanto, o volume da pirâmide de base ABCD e vértice O é √2 / 6, que corresponde à alternativa:
Gabarito: d) 1/6