Por David Castilho em 05/01/2025 03:03:19🎓 Equipe Gabarite
Para encontrar o coeficiente de \( a^{13} \) no binômio \((a + 2)^{15}\), podemos utilizar o Teorema do Binômio de Newton. Esse teorema nos permite encontrar qualquer termo de um binômio elevado a uma potência sem a necessidade de expandir completamente o binômio.
A fórmula para encontrar o termo geral de um binômio é dada por:
\[ T_{n+1} = \binom{n}{k} \cdot a^{n-k} \cdot b^k \]
Onde:
- \( T_{n+1} \) é o termo que queremos encontrar.
- \( n \) é o expoente do binômio.
- \( k \) é o índice do termo que queremos encontrar.
- \( \binom{n}{k} \) é o coeficiente binomial, dado por \( \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \).
- \( a \) e \( b \) são os termos do binômio.
No nosso caso, queremos encontrar o termo \( a^{13} \) no binômio \((a + 2)^{15}\), ou seja, queremos encontrar o termo em que \( k = 2 \) (pois \( 15 - 2 = 13 \)).
Substituindo na fórmula, temos:
\[ T_{13+1} = \binom{15}{2} \cdot a^{15-2} \cdot 2^2 \]
\[ T_{14} = \binom{15}{2} \cdot a^{13} \cdot 4 \]
\[ T_{14} = \frac{15!}{2! \cdot 13!} \cdot a^{13} \cdot 4 \]
\[ T_{14} = \frac{15 \cdot 14}{2} \cdot a^{13} \cdot 4 \]
\[ T_{14} = 105 \cdot a^{13} \cdot 4 \]
\[ T_{14} = 420 \cdot a^{13} \]
Portanto, o coeficiente de \( a^{13} \) no binômio \((a + 2)^{15}\) é 420.
Gabarito: d) 420
A fórmula para encontrar o termo geral de um binômio é dada por:
\[ T_{n+1} = \binom{n}{k} \cdot a^{n-k} \cdot b^k \]
Onde:
- \( T_{n+1} \) é o termo que queremos encontrar.
- \( n \) é o expoente do binômio.
- \( k \) é o índice do termo que queremos encontrar.
- \( \binom{n}{k} \) é o coeficiente binomial, dado por \( \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \).
- \( a \) e \( b \) são os termos do binômio.
No nosso caso, queremos encontrar o termo \( a^{13} \) no binômio \((a + 2)^{15}\), ou seja, queremos encontrar o termo em que \( k = 2 \) (pois \( 15 - 2 = 13 \)).
Substituindo na fórmula, temos:
\[ T_{13+1} = \binom{15}{2} \cdot a^{15-2} \cdot 2^2 \]
\[ T_{14} = \binom{15}{2} \cdot a^{13} \cdot 4 \]
\[ T_{14} = \frac{15!}{2! \cdot 13!} \cdot a^{13} \cdot 4 \]
\[ T_{14} = \frac{15 \cdot 14}{2} \cdot a^{13} \cdot 4 \]
\[ T_{14} = 105 \cdot a^{13} \cdot 4 \]
\[ T_{14} = 420 \cdot a^{13} \]
Portanto, o coeficiente de \( a^{13} \) no binômio \((a + 2)^{15}\) é 420.
Gabarito: d) 420