Por Camila Duarte em 05/01/2025 10:56:49🎓 Equipe Gabarite
Para encontrar o comprimento da altura relativa ao lado BC do triângulo ABC, primeiro precisamos encontrar a equação da reta perpendicular a 4x + 3y = 1 que passa pelo ponto A(-2, 1), que será a altura procurada.
A equação da reta perpendicular a 4x + 3y = 1 é da forma y = -4/3x + c, onde -4/3 é o coeficiente angular oposto e c é o coeficiente linear a ser determinado.
Como essa reta passa pelo ponto A(-2, 1), podemos substituir x = -2 e y = 1 na equação da reta perpendicular para encontrar c:
1 = -4/3 * (-2) + c
1 = 8/3 + c
c = 3/3 - 8/3
c = -5/3
Portanto, a equação da reta perpendicular é y = -4/3x - 5/3.
Agora, para encontrar o ponto de interseção entre a reta 4x + 3y = 1 e a reta perpendicular, podemos resolver o sistema formado por essas duas equações.
Substituindo y = -4/3x - 5/3 na equação 4x + 3y = 1, temos:
4x + 3(-4/3x - 5/3) = 1
4x - 4x - 5 = 1
-5 = 1
Essa equação não possui solução, o que indica que as retas são paralelas e não se intersectam. Portanto, o triângulo ABC é retângulo e a altura relativa ao lado BC é a própria distância entre o ponto A e a reta BC.
A distância entre um ponto (x1, y1) e uma reta Ax + By + C = 0 é dada por:
d = |Ax1 + By1 + C| / √(A^2 + B^2)
Neste caso, temos A = 4, B = 3, C = -1, x1 = -2 e y1 = 1. Substituindo na fórmula, temos:
d = |4*(-2) + 3*1 - 1| / √(4^2 + 3^2)
d = |-8 + 3 - 1| / √(16 + 9)
d = |-6| / √25
d = 6 / 5
d = 1,2
Portanto, o comprimento da altura relativa ao lado BC do triângulo ABC é 1,2.
Gabarito: a) 1,2
A equação da reta perpendicular a 4x + 3y = 1 é da forma y = -4/3x + c, onde -4/3 é o coeficiente angular oposto e c é o coeficiente linear a ser determinado.
Como essa reta passa pelo ponto A(-2, 1), podemos substituir x = -2 e y = 1 na equação da reta perpendicular para encontrar c:
1 = -4/3 * (-2) + c
1 = 8/3 + c
c = 3/3 - 8/3
c = -5/3
Portanto, a equação da reta perpendicular é y = -4/3x - 5/3.
Agora, para encontrar o ponto de interseção entre a reta 4x + 3y = 1 e a reta perpendicular, podemos resolver o sistema formado por essas duas equações.
Substituindo y = -4/3x - 5/3 na equação 4x + 3y = 1, temos:
4x + 3(-4/3x - 5/3) = 1
4x - 4x - 5 = 1
-5 = 1
Essa equação não possui solução, o que indica que as retas são paralelas e não se intersectam. Portanto, o triângulo ABC é retângulo e a altura relativa ao lado BC é a própria distância entre o ponto A e a reta BC.
A distância entre um ponto (x1, y1) e uma reta Ax + By + C = 0 é dada por:
d = |Ax1 + By1 + C| / √(A^2 + B^2)
Neste caso, temos A = 4, B = 3, C = -1, x1 = -2 e y1 = 1. Substituindo na fórmula, temos:
d = |4*(-2) + 3*1 - 1| / √(4^2 + 3^2)
d = |-8 + 3 - 1| / √(16 + 9)
d = |-6| / √25
d = 6 / 5
d = 1,2
Portanto, o comprimento da altura relativa ao lado BC do triângulo ABC é 1,2.
Gabarito: a) 1,2