Por Matheus Fernandes em 30/12/2024 19:23:39🎓 Equipe Gabarite
Para encontrar a equação da circunferência com centro na origem do sistema cartesiano e que passa pela interseção das retas \( r: x - y = 0 \) e \( s: x + y - 4 = 0 \), precisamos primeiro encontrar o ponto de interseção dessas retas, que será o ponto em que a circunferência passa.
Para encontrar o ponto de interseção, vamos resolver o sistema formado pelas equações das retas \( r \) e \( s \):
\( r: x - y = 0 \)
\( s: x + y - 4 = 0 \)
Somando as duas equações, obtemos:
\( 2x - 4 = 0 \)
\( 2x = 4 \)
\( x = 2 \)
Substituindo o valor de \( x \) na equação de \( r \), temos:
\( 2 - y = 0 \)
\( y = 2 \)
Portanto, o ponto de interseção das retas \( r \) e \( s \) é \( P(2, 2) \).
Como a circunferência tem centro na origem, o raio da circunferência será a distância do ponto \( P(2, 2) \) até a origem \( O(0, 0) \), que é a raiz da soma dos quadrados das coordenadas do ponto \( P \):
\( r = \sqrt{(2-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} \)
Assim, a equação da circunferência com centro na origem e raio \( \sqrt{8} \) é dada por:
\( x^2 + y^2 = 8 \)
Portanto, a alternativa correta é a letra:
Gabarito: c) x2 + y2 - 8 = 0
Para encontrar o ponto de interseção, vamos resolver o sistema formado pelas equações das retas \( r \) e \( s \):
\( r: x - y = 0 \)
\( s: x + y - 4 = 0 \)
Somando as duas equações, obtemos:
\( 2x - 4 = 0 \)
\( 2x = 4 \)
\( x = 2 \)
Substituindo o valor de \( x \) na equação de \( r \), temos:
\( 2 - y = 0 \)
\( y = 2 \)
Portanto, o ponto de interseção das retas \( r \) e \( s \) é \( P(2, 2) \).
Como a circunferência tem centro na origem, o raio da circunferência será a distância do ponto \( P(2, 2) \) até a origem \( O(0, 0) \), que é a raiz da soma dos quadrados das coordenadas do ponto \( P \):
\( r = \sqrt{(2-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} \)
Assim, a equação da circunferência com centro na origem e raio \( \sqrt{8} \) é dada por:
\( x^2 + y^2 = 8 \)
Portanto, a alternativa correta é a letra:
Gabarito: c) x2 + y2 - 8 = 0