Por Marcos de Castro em 07/01/2025 00:38:23🎓 Equipe Gabarite
Para encontrar o valor de \( k \) que torna o vértice da parábola \( y = \frac{1}{2}x^2 - 6x + k \) um ponto da reta \( y = -1 \), precisamos primeiro encontrar as coordenadas do vértice da parábola.
A fórmula geral para a coordenada \( x \) do vértice de uma parábola dada por \( y = ax^2 + bx + c \) é dada por \( x = \frac{-b}{2a} \).
No caso da parábola \( y = \frac{1}{2}x^2 - 6x + k \), temos \( a = \frac{1}{2} \) e \( b = -6 \). Substituindo na fórmula, temos:
\( x = \frac{-(-6)}{2 \cdot \frac{1}{2}} \)
\( x = \frac{6}{1} \)
\( x = 6 \)
Agora, para encontrar o valor de \( y \) correspondente a \( x = 6 \), basta substituir \( x = 6 \) na equação da parábola:
\( y = \frac{1}{2} \cdot 6^2 - 6 \cdot 6 + k \)
\( y = \frac{1}{2} \cdot 36 - 36 + k \)
\( y = 18 - 36 + k \)
\( y = -18 + k \)
Sabemos que o vértice da parábola está na reta \( y = -1 \), então \( y = -1 \) quando \( x = 6 \). Portanto, temos:
\( -18 + k = -1 \)
\( k = -1 + 18 \)
\( k = 17 \)
Portanto, o valor de \( k \) é 17.
Gabarito: d) 17
A fórmula geral para a coordenada \( x \) do vértice de uma parábola dada por \( y = ax^2 + bx + c \) é dada por \( x = \frac{-b}{2a} \).
No caso da parábola \( y = \frac{1}{2}x^2 - 6x + k \), temos \( a = \frac{1}{2} \) e \( b = -6 \). Substituindo na fórmula, temos:
\( x = \frac{-(-6)}{2 \cdot \frac{1}{2}} \)
\( x = \frac{6}{1} \)
\( x = 6 \)
Agora, para encontrar o valor de \( y \) correspondente a \( x = 6 \), basta substituir \( x = 6 \) na equação da parábola:
\( y = \frac{1}{2} \cdot 6^2 - 6 \cdot 6 + k \)
\( y = \frac{1}{2} \cdot 36 - 36 + k \)
\( y = 18 - 36 + k \)
\( y = -18 + k \)
Sabemos que o vértice da parábola está na reta \( y = -1 \), então \( y = -1 \) quando \( x = 6 \). Portanto, temos:
\( -18 + k = -1 \)
\( k = -1 + 18 \)
\( k = 17 \)
Portanto, o valor de \( k \) é 17.
Gabarito: d) 17