Por Camila Duarte em 07/01/2025 05:28:45🎓 Equipe Gabarite
Para resolver essa questão, vamos primeiro analisar a situação descrita:
Cada vértice do cubo é centro de uma esfera de raio x/2. Isso significa que essas esferas estão contidas dentro do cubo e são tangentes às arestas do cubo.
Vamos calcular o volume da parte comum ao cubo e às esferas.
O volume do cubo de aresta x é dado por Vc = x³.
O volume de uma esfera de raio x/2 é dado por Ve = (4/3)π(r/2)³ = (4/3)π(x/2)³ = (4/3)π(x³/8) = (π/6)x³.
Como temos 8 esferas (uma em cada vértice do cubo), o volume total das esferas é 8 * Ve = 8 * (π/6)x³ = (4/3)πx³.
Porém, ao calcular o volume total das esferas, estamos contando a parte comum entre elas mais de uma vez. Essa parte comum é justamente a região que queremos encontrar.
A parte comum entre as esferas é um octaedro (sólido formado por 8 triângulos equiláteros), e o volume de um octaedro pode ser calculado pela fórmula V = (2√2/3)a³, onde "a" é a aresta do octaedro.
No caso desse octaedro, a aresta é x/√2, pois a distância do centro de uma esfera ao vértice do cubo é x/2 e a distância do centro do octaedro ao vértice do octaedro é x/2.
Substituindo "a" por x/√2 na fórmula do volume do octaedro, temos:
V = (2√2/3)(x/√2)³ = (2√2/3)(x³/√8) = (2√2/3)(x³/2√2) = (π/3)x³.
Portanto, o volume da parte comum ao cubo e às esferas é (4/3)πx³ - (π/3)x³ = (π/3)x³.
Gabarito: c) π/6 x³
Cada vértice do cubo é centro de uma esfera de raio x/2. Isso significa que essas esferas estão contidas dentro do cubo e são tangentes às arestas do cubo.
Vamos calcular o volume da parte comum ao cubo e às esferas.
O volume do cubo de aresta x é dado por Vc = x³.
O volume de uma esfera de raio x/2 é dado por Ve = (4/3)π(r/2)³ = (4/3)π(x/2)³ = (4/3)π(x³/8) = (π/6)x³.
Como temos 8 esferas (uma em cada vértice do cubo), o volume total das esferas é 8 * Ve = 8 * (π/6)x³ = (4/3)πx³.
Porém, ao calcular o volume total das esferas, estamos contando a parte comum entre elas mais de uma vez. Essa parte comum é justamente a região que queremos encontrar.
A parte comum entre as esferas é um octaedro (sólido formado por 8 triângulos equiláteros), e o volume de um octaedro pode ser calculado pela fórmula V = (2√2/3)a³, onde "a" é a aresta do octaedro.
No caso desse octaedro, a aresta é x/√2, pois a distância do centro de uma esfera ao vértice do cubo é x/2 e a distância do centro do octaedro ao vértice do octaedro é x/2.
Substituindo "a" por x/√2 na fórmula do volume do octaedro, temos:
V = (2√2/3)(x/√2)³ = (2√2/3)(x³/√8) = (2√2/3)(x³/2√2) = (π/3)x³.
Portanto, o volume da parte comum ao cubo e às esferas é (4/3)πx³ - (π/3)x³ = (π/3)x³.
Gabarito: c) π/6 x³