Por Matheus Fernandes em 07/01/2025 08:24:10🎓 Equipe Gabarite
Para resolver essa questão, vamos calcular o volume de um prisma triangular regular e depois somar os volumes dos 20 prismas.
O volume de um prisma é dado pela fórmula: V = A_base * h, onde A_base é a área da base do prisma e h é a altura do prisma.
No caso do prisma triangular regular, a área da base (A_base) pode ser calculada pela fórmula: A_base = (lado do triângulo equilátero)^2 * √3 / 4.
Dado que o lado do triângulo equilátero é igual à aresta do icosaedro, que é 4 cm, temos: A_base = 4^2 * √3 / 4 = 4√3.
Agora, vamos calcular a altura de cada prisma. Sabemos que as alturas estão em progressão aritmética, com o primeiro termo sendo 2 cm e a razão sendo 3 cm. Portanto, as alturas dos 20 prismas serão: 2 cm, 5 cm, 8 cm, ..., 59 cm.
Agora, vamos calcular o volume de cada prisma e somar todos os volumes:
V1 = 4√3 * 2 = 8√3
V2 = 4√3 * 5 = 20√3
V3 = 4√3 * 8 = 32√3
...
V20 = 4√3 * 59 = 236√3
Agora, somando todos os volumes:
V_total = V1 + V2 + ... + V20
V_total = 8√3 + 20√3 + 32√3 + ... + 236√3
V_total = 4√3 * (2 + 5 + 8 + ... + 59)
V_total = 4√3 * (Soma dos termos de uma PA com a1=2, r=3 e n=20)
V_total = 4√3 * (n/2 * (a1 + an))
V_total = 4√3 * (20/2 * (2 + 59))
V_total = 4√3 * (10 * 61)
V_total = 2440√3
Portanto, a soma dos volumes dos 20 prismas é 2440√3 cm³.
Gabarito: e) 2440√3
O volume de um prisma é dado pela fórmula: V = A_base * h, onde A_base é a área da base do prisma e h é a altura do prisma.
No caso do prisma triangular regular, a área da base (A_base) pode ser calculada pela fórmula: A_base = (lado do triângulo equilátero)^2 * √3 / 4.
Dado que o lado do triângulo equilátero é igual à aresta do icosaedro, que é 4 cm, temos: A_base = 4^2 * √3 / 4 = 4√3.
Agora, vamos calcular a altura de cada prisma. Sabemos que as alturas estão em progressão aritmética, com o primeiro termo sendo 2 cm e a razão sendo 3 cm. Portanto, as alturas dos 20 prismas serão: 2 cm, 5 cm, 8 cm, ..., 59 cm.
Agora, vamos calcular o volume de cada prisma e somar todos os volumes:
V1 = 4√3 * 2 = 8√3
V2 = 4√3 * 5 = 20√3
V3 = 4√3 * 8 = 32√3
...
V20 = 4√3 * 59 = 236√3
Agora, somando todos os volumes:
V_total = V1 + V2 + ... + V20
V_total = 8√3 + 20√3 + 32√3 + ... + 236√3
V_total = 4√3 * (2 + 5 + 8 + ... + 59)
V_total = 4√3 * (Soma dos termos de uma PA com a1=2, r=3 e n=20)
V_total = 4√3 * (n/2 * (a1 + an))
V_total = 4√3 * (20/2 * (2 + 59))
V_total = 4√3 * (10 * 61)
V_total = 2440√3
Portanto, a soma dos volumes dos 20 prismas é 2440√3 cm³.
Gabarito: e) 2440√3