Por Camila Duarte em 30/12/2024 19:24:54🎓 Equipe Gabarite
Para resolver essa questão, vamos primeiro entender as relações entre o volume de uma esfera e o volume de um cubo circunscrito a essa esfera.
O volume de uma esfera é dado pela fórmula: \( V_{esfera} = \frac{4}{3} \pi r^3 \), onde \( r \) é o raio da esfera.
Já o volume de um cubo é dado pela fórmula: \( V_{cubo} = L^3 \), onde \( L \) é o comprimento da aresta do cubo.
No caso do cubo circunscrito à esfera, o diâmetro da esfera é igual à diagonal do cubo, e a diagonal de um cubo pode ser calculada pela fórmula: \( d = \sqrt{3} \times L \), onde \( d \) é a diagonal e \( L \) é a aresta do cubo.
Sabemos que o volume da esfera é 36π m³, então podemos igualar a fórmula do volume da esfera ao valor dado e encontrar o raio da esfera:
\( 36\pi = \frac{4}{3} \pi r^3 \)
Simplificando, temos:
\( r^3 = \frac{3 \times 36}{4} = 27 \)
\( r = \sqrt[3]{27} = 3 \)
Agora que encontramos o raio da esfera, podemos encontrar a diagonal do cubo circunscrito:
\( d = \sqrt{3} \times L = 2r\sqrt{3} = 2 \times 3 \times \sqrt{3} = 6\sqrt{3} \)
E, por fim, podemos encontrar o volume do cubo circunscrito:
\( V_{cubo} = L^3 = (2r)^3 = 8r^3 = 8 \times 27 = 216 \, m^3 \)
Portanto, o volume do cubo circunscrito à esfera é de 216 m³.
Gabarito: e) 216 m³
O volume de uma esfera é dado pela fórmula: \( V_{esfera} = \frac{4}{3} \pi r^3 \), onde \( r \) é o raio da esfera.
Já o volume de um cubo é dado pela fórmula: \( V_{cubo} = L^3 \), onde \( L \) é o comprimento da aresta do cubo.
No caso do cubo circunscrito à esfera, o diâmetro da esfera é igual à diagonal do cubo, e a diagonal de um cubo pode ser calculada pela fórmula: \( d = \sqrt{3} \times L \), onde \( d \) é a diagonal e \( L \) é a aresta do cubo.
Sabemos que o volume da esfera é 36π m³, então podemos igualar a fórmula do volume da esfera ao valor dado e encontrar o raio da esfera:
\( 36\pi = \frac{4}{3} \pi r^3 \)
Simplificando, temos:
\( r^3 = \frac{3 \times 36}{4} = 27 \)
\( r = \sqrt[3]{27} = 3 \)
Agora que encontramos o raio da esfera, podemos encontrar a diagonal do cubo circunscrito:
\( d = \sqrt{3} \times L = 2r\sqrt{3} = 2 \times 3 \times \sqrt{3} = 6\sqrt{3} \)
E, por fim, podemos encontrar o volume do cubo circunscrito:
\( V_{cubo} = L^3 = (2r)^3 = 8r^3 = 8 \times 27 = 216 \, m^3 \)
Portanto, o volume do cubo circunscrito à esfera é de 216 m³.
Gabarito: e) 216 m³