Por Marcos de Castro em 05/01/2025 10:39:51🎓 Equipe Gabarite
Para encontrar o coeficiente numérico de \( x^5 \) no desenvolvimento de \( (x - \frac{1}{x})^7 \), podemos usar o Teorema do Binômio de Newton. Esse teorema nos permite expandir expressões do tipo \( (a + b)^n \), onde \( a \) e \( b \) são números reais e \( n \) é um número natural.
A fórmula para encontrar o termo geral de \( (a + b)^n \) é dada por:
\[ C(n, k) \cdot a^{n-k} \cdot b^k \]
Onde:
- \( C(n, k) \) é o número de combinações de \( n \) elementos tomados \( k \) a \( k \).
- \( a^{n-k} \) é o termo que corresponde a \( a \) elevado à potência \( n - k \).
- \( b^k \) é o termo que corresponde a \( b \) elevado à potência \( k \).
No nosso caso, \( a = x \) e \( b = -\frac{1}{x} \). Além disso, queremos encontrar o coeficiente numérico de \( x^5 \), o que significa que precisamos ter \( x \) elevado a uma potência que resulte em \( x^5 \) após a multiplicação dos termos.
Para obter \( x^5 \), devemos ter \( x \) elevado à potência \( n - k \) igual a 5. Isso ocorre quando \( n - k = 5 \), ou seja, quando \( n = 7 \) e \( k = 2 \).
Portanto, o coeficiente numérico de \( x^5 \) no desenvolvimento de \( (x - \frac{1}{x})^7 \) será dado por:
\[ C(7, 2) \cdot x^{7-2} \cdot \left(-\frac{1}{x}\right)^2 \]
Calculando \( C(7, 2) \):
\[ C(7, 2) = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21 \]
Substituindo na fórmula:
\[ 21 \cdot x^5 \cdot \left(-\frac{1}{x}\right)^2 = 21 \cdot x^5 \cdot \frac{1}{x^2} = 21x^3 \]
Portanto, o coeficiente numérico de \( x^5 \) no desenvolvimento de \( (x - \frac{1}{x})^7 \) é 21.
Gabarito: a) 21
A fórmula para encontrar o termo geral de \( (a + b)^n \) é dada por:
\[ C(n, k) \cdot a^{n-k} \cdot b^k \]
Onde:
- \( C(n, k) \) é o número de combinações de \( n \) elementos tomados \( k \) a \( k \).
- \( a^{n-k} \) é o termo que corresponde a \( a \) elevado à potência \( n - k \).
- \( b^k \) é o termo que corresponde a \( b \) elevado à potência \( k \).
No nosso caso, \( a = x \) e \( b = -\frac{1}{x} \). Além disso, queremos encontrar o coeficiente numérico de \( x^5 \), o que significa que precisamos ter \( x \) elevado a uma potência que resulte em \( x^5 \) após a multiplicação dos termos.
Para obter \( x^5 \), devemos ter \( x \) elevado à potência \( n - k \) igual a 5. Isso ocorre quando \( n - k = 5 \), ou seja, quando \( n = 7 \) e \( k = 2 \).
Portanto, o coeficiente numérico de \( x^5 \) no desenvolvimento de \( (x - \frac{1}{x})^7 \) será dado por:
\[ C(7, 2) \cdot x^{7-2} \cdot \left(-\frac{1}{x}\right)^2 \]
Calculando \( C(7, 2) \):
\[ C(7, 2) = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21 \]
Substituindo na fórmula:
\[ 21 \cdot x^5 \cdot \left(-\frac{1}{x}\right)^2 = 21 \cdot x^5 \cdot \frac{1}{x^2} = 21x^3 \]
Portanto, o coeficiente numérico de \( x^5 \) no desenvolvimento de \( (x - \frac{1}{x})^7 \) é 21.
Gabarito: a) 21