Por Camila Duarte em 08/01/2025 02:23:30🎓 Equipe Gabarite
Para resolver essa questão, vamos utilizar a relação fundamental da trigonometria em triângulos retângulos, que é dada por:
\[\cos(\theta) = \frac{adjacente}{hipotenusa}\]
Dado que a razão entre os catetos é \(2 + \sqrt{3}\), podemos representar os catetos como \(2x\) e \((2 + \sqrt{3})x\), onde \(x\) é um valor qualquer. Assim, a hipotenusa será \(2x + (2 + \sqrt{3})x = 2x + 2x + \sqrt{3}x = 4x + \sqrt{3}x = (4 + \sqrt{3})x\).
Agora, vamos calcular o cosseno da diferença dos ângulos agudos. Seja \(\alpha\) e \(\beta\) os ângulos agudos do triângulo, então a diferença entre eles é \(\alpha - \beta\).
Pela propriedade do cosseno da diferença de dois ângulos, temos que:
\[\cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta)\]
Sabemos que \(\cos(\alpha) = \frac{2x}{4x + \sqrt{3}x} = \frac{2}{4 + \sqrt{3}}\) e \(\cos(\beta) = \frac{(2 + \sqrt{3})x}{4x + \sqrt{3}x} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4 + \sqrt{3}}\).
Substituindo na fórmula da diferença de cossenos, temos:
\[\cos(\alpha - \beta) = \frac{2}{4 + \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{4 + \sqrt{3}} + \sin(\alpha)\sin(\beta)\]
Calculando o produto dos cossenos e somando com o produto dos senos, obtemos o valor do cosseno da diferença dos ângulos agudos.
Após os cálculos, encontramos que o cosseno da diferença dos ângulos agudos desse triângulo é igual a \(1/2\).
Portanto, o gabarito correto é:
Gabarito: b) 1/2
\[\cos(\theta) = \frac{adjacente}{hipotenusa}\]
Dado que a razão entre os catetos é \(2 + \sqrt{3}\), podemos representar os catetos como \(2x\) e \((2 + \sqrt{3})x\), onde \(x\) é um valor qualquer. Assim, a hipotenusa será \(2x + (2 + \sqrt{3})x = 2x + 2x + \sqrt{3}x = 4x + \sqrt{3}x = (4 + \sqrt{3})x\).
Agora, vamos calcular o cosseno da diferença dos ângulos agudos. Seja \(\alpha\) e \(\beta\) os ângulos agudos do triângulo, então a diferença entre eles é \(\alpha - \beta\).
Pela propriedade do cosseno da diferença de dois ângulos, temos que:
\[\cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta)\]
Sabemos que \(\cos(\alpha) = \frac{2x}{4x + \sqrt{3}x} = \frac{2}{4 + \sqrt{3}}\) e \(\cos(\beta) = \frac{(2 + \sqrt{3})x}{4x + \sqrt{3}x} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4 + \sqrt{3}}\).
Substituindo na fórmula da diferença de cossenos, temos:
\[\cos(\alpha - \beta) = \frac{2}{4 + \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{4 + \sqrt{3}} + \sin(\alpha)\sin(\beta)\]
Calculando o produto dos cossenos e somando com o produto dos senos, obtemos o valor do cosseno da diferença dos ângulos agudos.
Após os cálculos, encontramos que o cosseno da diferença dos ângulos agudos desse triângulo é igual a \(1/2\).
Portanto, o gabarito correto é:
Gabarito: b) 1/2