Por Matheus Fernandes em 05/01/2025 11:18:17🎓 Equipe Gabarite
Para encontrar a dimensão do subespaço \( W \) gerado pelos vetores \( w_1 = (1,0,1,1) \), \( w_2 = (0,1,1,-1) \), \( w_3 = (1,1,2,0) \) e \( w_4 = (1,3,4,-2) \), precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Se forem linearmente independentes, a dimensão de \( W \) será igual ao número de vetores, ou seja, 4. Caso contrário, a dimensão será menor.
Vamos montar uma matriz com esses vetores como linhas e reduzi-la à forma escalonada por linhas para verificar se são linearmente independentes:
\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 4 & -2 \end{bmatrix} \]
Realizando as operações de linha necessárias, obtemos:
\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & 3 & -3 \end{bmatrix} \]
\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]
Como a matriz reduzida possui uma linha de zeros, podemos ver que os vetores não são linearmente independentes. Portanto, a dimensão de \( W \) será menor do que 4.
A dimensão de \( W \) é dada pelo número de vetores linearmente independentes que o geram. Neste caso, como os vetores não são linearmente independentes, a dimensão de \( W \) será igual ao número de vetores linearmente independentes presentes, ou seja, 2.
Portanto, a resposta correta é:
Gabarito: c) 2.
Vamos montar uma matriz com esses vetores como linhas e reduzi-la à forma escalonada por linhas para verificar se são linearmente independentes:
\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 4 & -2 \end{bmatrix} \]
Realizando as operações de linha necessárias, obtemos:
\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & 3 & -3 \end{bmatrix} \]
\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]
Como a matriz reduzida possui uma linha de zeros, podemos ver que os vetores não são linearmente independentes. Portanto, a dimensão de \( W \) será menor do que 4.
A dimensão de \( W \) é dada pelo número de vetores linearmente independentes que o geram. Neste caso, como os vetores não são linearmente independentes, a dimensão de \( W \) será igual ao número de vetores linearmente independentes presentes, ou seja, 2.
Portanto, a resposta correta é:
Gabarito: c) 2.