Os ministérios A, B e C do Governo Federal de determinado país foram fundidos em um só....

Q61050 | Matemática, Diagramas de Venn

Os ministérios A, B e C do Governo Federal de determinado país foram fundidos em um só. Para o novo ministério, foram alocados 300 assessores especiais, alguns deles com passagens em mais de um desses três ministérios. Os que haviam trabalhado em exatamente dois dentre os três ministérios antigos eram 171. Os que haviam trabalhado nos três ministérios antigos eram 17. Os que haviam trabalhado apenas no Ministério A eram 52. Os que haviam trabalhado no ministério B e no C eram 84, enquanto os que haviam trabalhado no ministério A e no C eram 64. O número total dos assessores que haviam trabalhado apenas no ministério B ou apenas no C é igual a

a) 23.
b) 60.
c) 100.
d) 112.
e) 141.

Por Camila Duarte em 05/01/2025 11:22:45🎓 Equipe Gabarite

Para resolver essa questão, vamos utilizar o Princípio da Inclusão-Exclusão, que nos permite contar elementos que estão em interseções de conjuntos.

Vamos denotar:
- A: Assessores que trabalharam no Ministério A
- B: Assessores que trabalharam no Ministério B
- C: Assessores que trabalharam no Ministério C

Queremos encontrar o número de assessores que trabalharam apenas no Ministério B ou apenas no Ministério C, ou seja, queremos encontrar B' ∪ C', onde B' representa os assessores que trabalharam apenas no Ministério B e C' representa os assessores que trabalharam apenas no Ministério C.

Pelo Princípio da Inclusão-Exclusão, temos que:
|B' ∪ C'| = |B| + |C| - |B ∩ C|

Vamos calcular cada uma das quantidades:
- |B|: Assessores que trabalharam no Ministério B
|B| = |B' ∪ (A ∩ B) ∪ (B ∩ C)| = |B' ∪ (A ∩ B) ∪ (B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C)|
|B| = |B'| + |A ∩ B| + |B ∩ C| - |A ∩ B ∩ C|
|B| = |B'| + 84 + 84 - 17
|B| = |B'| + 151

- |C|: Assessores que trabalharam no Ministério C
|C| = |C' ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)| = |C' ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C)|
|C| = |C'| + |A ∩ C| + |B ∩ C| - |A ∩ B ∩ C|
|C| = |C'| + 64 + 84 - 17
|C| = |C'| + 131

- |B ∩ C|: Assessores que trabalharam nos Ministérios B e C
|B ∩ C| = 84

Substituindo na fórmula do Princípio da Inclusão-Exclusão, temos:
|B' ∪ C'| = |B| + |C| - |B ∩ C|
|B' ∪ C'| = (|B'| + 151) + (|C'| + 131) - 84
|B' ∪ C'| = |B'| + |C'| + 198

Além disso, sabemos que:
- Total de assessores = 300
- Assessores que trabalharam exatamente em dois ministérios = 171
- Assessores que trabalharam nos três ministérios = 17
- Assessores que trabalharam apenas no Ministério A = 52

Assim, podemos montar a equação:
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
300 = 52 + |B| + |C| - 171 - 64 - 84 + 17
300 = 52 + |B| + |C| - 302
|B| + |C| = 300 + 302 - 52
|B| + |C| = 550

Substituindo na equação anterior, temos:
|B' ∪ C'| = |B'| + |C'| + 198
550 = |B'| + |C'| + 198
|B'| + |C'| = 550 - 198
|B'| + |C'| = 352

Portanto, o número total dos assessores que trabalharam apenas no Ministério B ou apenas no Ministério C é 352.

Gabarito: b) 352.