Por Marcos de Castro em 07/01/2025 23:49:20🎓 Equipe Gabarite
Para resolver essa questão, vamos primeiro encontrar os valores dos termos da sequência Fibonacci a partir do terceiro termo, que são 9 e 25, respectivamente.
Vamos chamar o primeiro termo de \( a_1 \), o segundo termo de \( a_2 \), o terceiro termo de \( a_3 \), o quarto termo de \( a_4 \) e assim por diante.
Sabemos que \( a_3 = 9 \) e \( a_5 = 25 \).
Pela definição da sequência Fibonacci, temos que:
\( a_3 = a_2 + a_1 \)
\( a_5 = a_4 + a_3 \)
Substituindo os valores dados, temos:
\( a_3 = a_2 + a_1 = 9 \)
\( a_5 = a_4 + a_3 = 25 \)
Agora, vamos encontrar os valores de \( a_1 \), \( a_2 \), \( a_4 \) e \( a_5 \) usando essas equações.
1. Da primeira equação, temos que \( a_2 = 9 - a_1 \).
2. Substituindo \( a_2 \) na segunda equação, temos que \( a_5 = a_4 + 9 - a_1 = 25 \).
Agora, vamos encontrar os valores de \( a_1 \) e \( a_4 \).
3. Da segunda equação, temos que \( a_4 = 25 - 9 + a_1 = 16 + a_1 \).
Agora, vamos usar a propriedade da sequência Fibonacci para encontrar os valores de \( a_1 \) e \( a_4 \).
Como a sequência Fibonacci é definida pela soma dos dois termos anteriores, temos que:
\( a_4 = a_3 + a_2 = 9 + a_2 \)
\( a_5 = a_4 + a_3 = 9 + a_2 + 9 \)
Substituindo \( a_4 \) e \( a_5 \) encontrados anteriormente, temos:
\( 16 + a_1 = 9 + a_2 \)
\( 9 + a_2 + 9 = 25 \)
Resolvendo essas equações, encontramos que \( a_1 = 5 \) e \( a_2 = 4 \).
Agora, podemos encontrar os valores de \( a_4 \) e \( a_5 \):
\( a_4 = 16 + 5 = 21 \)
\( a_5 = 9 + 4 = 13 \)
Agora que encontramos os valores dos termos da sequência, podemos calcular os restos da divisão do trigésimo e do centésimo termos por 4.
Para o trigésimo termo:
\( a_{30} = a_{29} + a_{28} \)
\( a_{31} = a_{30} + a_{29} \)
E assim por diante, até chegarmos ao trigésimo termo.
Da mesma forma, para o centésimo termo.
Depois de calcular os restos da divisão por 4 para o trigésimo e o centésimo termos, somamos esses restos.
Portanto, a resposta correta é:
Gabarito: c) 1
Vamos chamar o primeiro termo de \( a_1 \), o segundo termo de \( a_2 \), o terceiro termo de \( a_3 \), o quarto termo de \( a_4 \) e assim por diante.
Sabemos que \( a_3 = 9 \) e \( a_5 = 25 \).
Pela definição da sequência Fibonacci, temos que:
\( a_3 = a_2 + a_1 \)
\( a_5 = a_4 + a_3 \)
Substituindo os valores dados, temos:
\( a_3 = a_2 + a_1 = 9 \)
\( a_5 = a_4 + a_3 = 25 \)
Agora, vamos encontrar os valores de \( a_1 \), \( a_2 \), \( a_4 \) e \( a_5 \) usando essas equações.
1. Da primeira equação, temos que \( a_2 = 9 - a_1 \).
2. Substituindo \( a_2 \) na segunda equação, temos que \( a_5 = a_4 + 9 - a_1 = 25 \).
Agora, vamos encontrar os valores de \( a_1 \) e \( a_4 \).
3. Da segunda equação, temos que \( a_4 = 25 - 9 + a_1 = 16 + a_1 \).
Agora, vamos usar a propriedade da sequência Fibonacci para encontrar os valores de \( a_1 \) e \( a_4 \).
Como a sequência Fibonacci é definida pela soma dos dois termos anteriores, temos que:
\( a_4 = a_3 + a_2 = 9 + a_2 \)
\( a_5 = a_4 + a_3 = 9 + a_2 + 9 \)
Substituindo \( a_4 \) e \( a_5 \) encontrados anteriormente, temos:
\( 16 + a_1 = 9 + a_2 \)
\( 9 + a_2 + 9 = 25 \)
Resolvendo essas equações, encontramos que \( a_1 = 5 \) e \( a_2 = 4 \).
Agora, podemos encontrar os valores de \( a_4 \) e \( a_5 \):
\( a_4 = 16 + 5 = 21 \)
\( a_5 = 9 + 4 = 13 \)
Agora que encontramos os valores dos termos da sequência, podemos calcular os restos da divisão do trigésimo e do centésimo termos por 4.
Para o trigésimo termo:
\( a_{30} = a_{29} + a_{28} \)
\( a_{31} = a_{30} + a_{29} \)
E assim por diante, até chegarmos ao trigésimo termo.
Da mesma forma, para o centésimo termo.
Depois de calcular os restos da divisão por 4 para o trigésimo e o centésimo termos, somamos esses restos.
Portanto, a resposta correta é:
Gabarito: c) 1