A quantidade de maneiras distintas de se escrever a palavra AUXILIAR é inferior a 10.000.

Para determinar a quantidade de maneiras distintas de se escrever a palavra "AUXILIAR", podemos utilizar o princípio da contagem.

A palavra "AUXILIAR" possui 8 letras, sendo que a letra "I" se repete duas vezes. Portanto, a quantidade de maneiras distintas de se escrever a palavra "AUXILIAR" é dada por:

8! / 2!

Onde:
- 8! representa o fatorial de 8, ou seja, 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
- 2! representa o fatorial de 2, ou seja, 2 x 1

Calculando:

8! / 2! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 = 20160

Portanto, a quantidade de maneiras distintas de se escrever a palavra "AUXILIAR" é 20.160, que é superior a 10.000.

Gabarito: b) Errado