O MDC, ou seja, o máximo divisor comum, é o maior número que divide dois ou mais outros números ao mesmo tempo. Ou seja, fazer o cálculo do MDC entre dois números nada mais é do que encontrar o maior divisor entre eles.
Por exemplo, os números 12 e 16 possuem como divisores os números 1, 2, 3 e 4. Desse modo, já que o MDC é o máximo divisor comum entre eles, o MDC entre 12 e 16 é 4.
Método para calcular o MDC:
Da mesma forma que no MMC, o cálculo do MDC pode ser realizado através da fatoração dos valores em números primos.
Veja, por exemplo, o cálculo do MDC entre os números 90 e 120.
90= 2 x 3 x 3 x 5
120= 2 x 2 x 2 x 3 x 5
O resultado do MDC é o produto entre os fatores primos comuns de cada número.
MDC= 2 x 3 x 5 , logo o MDC entre 90 e 120 é igual a 30.
Dessa mesma maneira, a fatoração pode ser representada através de potências:
90= 2 x 32 x 5
120= 23 x 3 x 5
O MDC entre 90 e 120 é 2 x 3 x 5 = 30
Portanto, o MDC entre dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores primos comuns a eles, cada um elevado ao seu menor expoente.
Propriedades do MDC:
1) Entre os números 4, 16 e 32 o número 4 é divisor dos outros dois. Nesse caso, através da propriedade, o número 7 é o MDC.
4= 2 x 2
16= 2 x 2 x 2 x 2
32= 2 x 2 x 2 x 2 x 2
O MDC= 4
Logo, tomando dois ou mais números, caso um deles seja divisor dos outros dois, esse mesmo número será o MDC entre eles.
2) Dois números consecutivos são sempre primos entre si. Dessa forma, se quisermos obter o MDC entre 19 e 20, o maior número que divide ambos será 1.
Exercício resolvido:
1) (Concurso Correios 2011)
O piso de uma sala retangular, medindo 3,52 m × 4,16 m, será revestido com ladrilhos quadrados, de mesma dimensão, inteiros, de forma que não fique espaço vazio entre ladrilhos vizinhos. Os ladrilhos serão escolhidos de modo que tenham a maior dimensão possível. Na situação apresentada, o lado do ladrilho deverá medir:
A) mais de 30 cm.
B) menos de 15 cm.
C) mais de 15 cm e menos de 20 cm.
D) mais de 20 cm e menos de 30 cm.
E) mais de 25 cm e menos de 30 cm.
Precisamos primeiro converter as medidas de metro para centímetro.
3,52m = 352 cm e 4,16m = 416 cm
Após isso, realizar a fatoração dos dois números para encontrar a medida adequada para revestir o piso.
352 , 416 | 2
176 , 208 | 2
88 , 104 | 2
44 , 52 | 2
22 , 26 | 2
11 , 13 | 11
1 , 13 | 13
1, 1
MDC= 2 X 2 X 2 X 2 X 2 = 32
O ladrilho adequado deverá medir 32 cm x 32 cm. Desse modo, a alternativa correta é a letra a.
