Cálculo Básico MDC - Máximo Divisor Comum

O MDC, ou seja, o máximo divisor comum, é o maior número que divide dois ou mais outros números ao mesmo tempo. Ou seja, fazer o cálculo do MDC entre dois números nada mais é do que encontrar o maior divisor entre eles.

Por exemplo, os números 12 e 16 possuem como divisores os números 1, 2, 3 e 4. Desse modo, já que o  MDC é o máximo divisor comum entre eles, o MDC entre 12 e 16 é 4.

Método para calcular o MDC:

Da mesma forma que no MMC, o cálculo do MDC pode ser realizado através da fatoração dos valores em números primos.

Veja, por exemplo, o cálculo do MDC entre os números 90 e 120.

90= 2 x 3 x 3 x 5
120= 2 x 2 x 2 x 3 x 5

O resultado do MDC é o produto entre os fatores primos comuns de cada número.

MDC= 2 x 3 x 5 , logo o MDC entre 90 e 120 é igual a 30.

Dessa mesma maneira, a fatoração pode ser representada através de potências:

90= 2 x 32 x 5
120= 23 x 3 x 5

O MDC entre 90 e 120 é 2 x 3 x 5 = 30

Portanto, o MDC entre dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores primos comuns a eles, cada um elevado ao seu menor expoente.

Propriedades do MDC:

1) Entre os números 4, 16 e 32 o número 4 é divisor dos outros dois. Nesse caso, através da propriedade, o número 7 é o MDC.

4= 2 x 2
16= 2 x 2 x 2 x 2
32= 2 x 2 x 2 x 2 x 2

O MDC= 4

Logo, tomando dois ou mais números, caso um deles seja divisor dos outros dois, esse mesmo número será o MDC entre eles.

2) Dois números consecutivos são sempre primos entre si. Dessa forma, se quisermos obter o MDC entre 19 e 20, o maior número que divide ambos será 1.

Exercício resolvido:

1) (Concurso Correios 2011)

O piso de uma sala retangular, medindo 3,52 m × 4,16 m, será revestido com ladrilhos quadrados, de mesma dimensão, inteiros, de forma que não fique espaço vazio entre ladrilhos vizinhos. Os ladrilhos serão escolhidos de modo que tenham a maior dimensão possível. Na situação apresentada, o lado do ladrilho deverá medir:

A) mais de 30 cm.
B) menos de 15 cm.
C) mais de 15 cm e menos de 20 cm.
D) mais de 20 cm e menos de 30 cm.
E) mais de 25 cm e menos de 30 cm.

Precisamos primeiro converter as medidas de metro para centímetro.

3,52m = 352 cm e 4,16m = 416 cm

Após isso, realizar a fatoração dos dois números para encontrar a medida adequada para revestir o piso.

352 , 416 | 2
176 , 208 | 2
88 , 104   | 2
44 , 52     | 2
22 , 26     | 2
11 , 13     | 11
1 , 13       | 13
1, 1 

        MDC= 2 X 2 X 2 X 2 X 2 = 32

 O ladrilho adequado deverá medir 32 cm x 32 cm. Desse modo, a alternativa correta é a letra a.