Regras e Propriedades da Potenciação

A potenciação é uma maneira encontrada para representar uma versão abreviada de uma multiplicação em sequência de fatores iguais. E suas regras e propriedades tem que ser aplicadas.

Embora poucas vezes os concursos ao redor do país abordem questões que envolvam diretamente potências, o conhecimento dessa ferramenta matemática muitas vezes pode ser necessário para encontrar a resposta de alguns problemas.

Regras e Propriedades da Potenciação

Em um primeiro momento, precisamos entender como as potências são representadas.

a^b = c

Chamamos a letra a de base, a letra b de expoente e a c de potência.

Nessa representação, o a, ou seja, a base, é o número que é multiplicado repetidas vezes. O expoente, a letra b, é a quantidade de vezes que a base foi repetida, e já a potência representada pela letra c é o resultado dessa sucessiva multiplicação.

Exemplo:

Se multiplicarmos 2x2x2x2x2x2, possuímos uma sequência no qual o número 2 é multiplicado seis vezes. Utilizando a potenciação podemos representar essa multiplicação da seguinte forma:

2⁶ = 64

No exemplo, o número 2 é a base, o 6 é o expoente e o número 64 é o resultado, ou seja, a potência. Desse modo obtemos que dois elevado a seis é igual a 64.

Outra representação pode ser a multiplicação 3x3x3, na qual o número 3 é multiplicado 3 vezes, resultando no valor 27. Logo, três elevado a três é igual a 27:

3³ = 27

Regras de par x ímpar

1) Números pares ou ímpares elevados a um expoente par sempre terão resultados positivos.

Exemplo:

4² = 4 * 4 = 16
(-4)² = (-4) * (-4) = 16

2) Dado uma potência cuja base é positiva e o expoente negativo, o resultado é o inverso da base elevado ao expoente positivo.

Exemplo:

Propriedades da Potenciação

1) Qualquer número natural elevado ao expoente 1 é igual ao próprio número da base.

Exemplo:

4¹ = 4
2¹ = 2

2) Qualquer número natural não-nulo elevado ao expoente 0 é igual a 1.

Exemplo:

10⁰ = 1
5⁰ = 1

3) Qualquer potência cuja base é o número 1 possuem também como resultado o número 1.

Exemplo:

1¹⁰⁰ = 1

4) No produto de potências de mesma base devemos conservar as bases e somar os expoentes.

Exemplo:

a^m * aⁿ = a^{m + n}
2² * 2³ = 2^{2 + 3} = 2⁵
3¹ * 3 ³ = 3^{1 + 3} = 3⁴

5) Na divisão de potências de mesma base devemos conservar as bases e subtrair os expoentes.

Exemplo:

a^m : aⁿ = a^{m – n}
2⁵ : 2² = 2^{5 – 2} = 2³
5³ : 5¹ = 5^{3 – 1} = 5²

6) Em potências de potências devemos multiplicar os expoentes.

Exemplo:

(aⁿ )^m = aⁿ * ^m
(4²)⁵ = 4¹⁰

7) Na potência de produtos o expoente dos fatores é o expoente geral.

(a * b)ⁿ = (aⁿ * bⁿ)
(2 * 3)² = (2² * 3²) = (4*9) = 36
(4 * 1)³ = (4³ * 1³) = (64 * 1) = 64

8) Na multiplicação de potências com o mesmo expoente devemos conservar o expoente e multiplicar as bases.

aⁿ * bⁿ = (a * b)ⁿ
2² * 4² = (2 * 4)²
3⁴ * 5⁴ = (3 * 5)⁴