Dízimas Periódicas e Fração Geratriz

As dízimas periódicas são números racionais cuja característica principal é a repetição de um ou mais algarismos infinitamente, o que constrói o período da dízima.

Esses números fazem parte do conjunto numérico dos racionais, representado pela letra Q, e que engloba os números inteiros, os números decimais finitos e os números decimais infinitos, ou seja, as dízimas periódicas.

Os números racionais podem ser representados tanto através das frações, quanto com números decimais. Porém, algumas frações não possuem representações decimais exatas e, por isso, as dízimas periódicas são utilizadas.

Classificação das dízimas periódicas

1) Dízimas periódicas simples:

Nos números decimais infinitos simples, o período de repetição aparece logo após a vírgula.

Exemplos:

 = 0,22222222...

 = 0,44444444...

 = 2,33333333...

2) Dízimas periódicas compostas:

Nas dízimas periódicas compostas, a vírgula não é seguida diretamente do período, mas existe um ou mais algarismo que a separa da parte infinita.

 = 0,972222222...

 = 0,4444444...

 = 0,833333...

Fração geratriz

A fração geratriz é aquela que dá origem a uma dízima periódica, ou seja, uma das frações que não pode ser transformada em um número decimal exato e é representada através de uma dízima simples ou composta.

O processo de encontrar a fração geratriz pode ser realizada através de alguns passos:

1) Em primeiro lugar, precisamos relacionar a dízima periódica a uma incógnita.

Exemplo 1: 

X = 0,66666...

2) Realizar a multiplicação de ambos os lados da equação por um dos múltiplos de 10 tendo em vista a quantidade de algarismos do período.

1 algarismo = Multiplicação por 10
2 algarismos = Multiplicação por 100
3 algarismos = Multiplicação por 1000

Ou seja, sabendo que a dízima 0,66666... possui apenas um algarismo em seu período, ou seja, apenas um número em repetição após a vírgula, multiplicamos ambos os lados por 10.

( X = 0,666666...) * 10

10X = 6,66666...

3) Por último, precisamos subtrair a segunda equação pela primeira e realizarmos as operações seguintes.

10X = 6,6666...

-X = 0,6666...

9X = 6    

X =

Exemplo 2:

0,278278278...

Seguindo os passos, primeiro igualamos a dízima periódica à incógnita X.

X = 0,278278278...

Em seguida, tendo em vista que a dízima possui três algarismos em seu período, precisamos multiplicar ambos os lados da igualdade pelo número 1000.

1000x = 278,278278...

Após isso, multiplicamos a segunda equação pela primeira e resolvemos o problema para encontramos a fração geratriz.

1000X = 278,278278...

-X = 0,278278278...

999X = 278

X =