Teorema de Tales de Mileto: Como Resolver Problemas?

Desenvolvido pelo matemático Tales de Mileto, e justamente por causa dele recebeu tal nome, o Teorema de Tales é aplicado à geometria como uma teoria que remete às retas paralelas e suas transversais.

O Teorema de Tales foi desenvolvido quando Tales, utilizando seus conhecimentos geométricos, em seus estudos observou a incidência dos raios solares que chegavam na Terra eram paralelos uns aos outros e chegavam na posição inclinada, a partir disso, Tales de Mileto concluiu que havia uma proporcionalidade entre as sombras e a medida da altura de um objeto.

Com o auxílio de uma estaca, através da observação Tales concluiu que a fórmula do Teorema de Tales é:

Para a melhor compreensão, o teorema foi representado através de retas paralelas intersectadas por transversais.

De acordo com a proporcionalidade do Teorema de Tales temos que:

Podemos relacionar, também, a soma dos segmentos aos valores de cada segmento em uma proporcionalidade.

Agora, aplicando valores aos segmentos:

Seguindo o exemplo de proporcionalidade dos seguimentos mostrado na figura acima obtemos que:

10 * X = 20 * 6
X = 20 * 60 / 10
X = 120 / 10
X = 12

O valor do segmento B"C" é 12.

Exemplo 2:

Em casos como esse, podemos reorganizar as transversais para que a resolução do problema fique mais simples. Veja:

Sendo assim:

6*3 = 12*Y
18 = 12 *Y
Y = 1,5

Como resolver problemas de Teoremas de Tales?

1) Três terrenos têm frente para a rua A e para a rua B, como na figura. As divisas laterais são perpendiculares à rua A. Qual a medida de frente para a rua B de cada lote, sabendo que a frente total para essa rua tem 180m?

Sabendo que a soma de todos os segmentos da Rua B é 180 metros, podemos realizar a soma dos segmentos da Rua B e relacioná-los na proporção. Chamando os lotes 1, 2 e 3 da Rua B de X, Y e Z e realizando a soma dos lotes da Rua A temos:

180 * 40 = 90 * X
X = 7200 / 90
X = 80

Ou seja, o lote 1 mede 80 metros.

180 * 30 = 90 * Y
Y = 540 / 90
Y = 60

O lote 2 possui 60 metros.

180 * 20 = Z * 90
3600 = Z * 90
Z = 40

O lote 3 possui 40 metros.

2) No desenho abaixo estão representados os terrenos I, II e III.

Quantos metros de comprimento deverá ter o muro que o proprietário do terreno II construirá para fechar o lado que faz frente com a Rua das Rosas?

Sabendo o valor dos outros 3 segmentos podemos realizar a proporção e encontrar o valor do terreno II.

24 * 20 = Z * 15
Z = 480 / 15
Z = 32

O muro do terreno II deverá ter 32 metros.

Veja mais: Teorema de tales exercícios.