O conhecimento dos conceitos dos produtos notáveis é de extrema importância porque reduz o tempo gasto na resolução de uma questão e agiliza os cálculos matemáticos.
O termo notável é justamente utilizado para realçar a importância dessa ferramenta que facilita o processo na hora de encontrarmos a resposta de um problema.
Operações algébricas dos produtos notáveis
Para dominar o assunto, precisamos aprender cinco casos que envolvem as operações algébricas dos produtos notáveis.
1) O quadrado da soma de dois termos
É preciso compreender, nessa operação, a utilização das propriedades de potenciação para resolvê-la.
(a + b)2 = (a + b) * (a + b)
Dessa forma, aplicando a distributiva, descobrimos que:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Ou seja, sendo a o primeiro termo a e b o segundo, o quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro somado a duas vezes o produto do primeiro e do segundo mais o segundo ao quadrado.
Exemplos:
(4 + 5)2 = 42 + 2*4*5 + 52 = 16 + 40 + 25 = 81
(3 + 2)2 = 32 + 2*3*2 + 22 = 9 + 12 + 4 = 25
2) O quadrado da diferença de dois termos
Desenvolvendo as propriedades distributivas da multiplicação obtemos que:
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Desse modo, o quadrado da diferença entre dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos duas vezes o produto entre os dois termos, mais o quadrado do segundo termo.
Exemplos:
(5 – 3)2 = 52 - 2*5*3 + 32 = 25 - 30 + 9 = 4
(7 – 4)2 = 72 - 2*7*4 + 42 = 49 – 56 + 16 = 9
3) Produto da soma pela diferença de dois termos
(a + b) * (a – b)
A distributiva resulta em uma diferença de quadrados, logo:
(a + b) * (a – b) = a2 - ab + ab – b2 = a2 – b2
Exemplos:
(3+2) * (3 – 2) = 32 - 22 = 9 – 4 = 5
4) O cubo da soma de dois termos
Considere a informação abaixo:
(a + b)3 = (a + b).(a + b)2
(a + b).(a2 + 2ab + b2) → (a + b)2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
A partir disso obtemos que o cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo somado ao triplo do primeiro termo ao quadrado e do segundo termo, mais o triplo do primeiro termo e do segundo termo ao quadrado, mais o cubo do segundo termo.
Exemplo:
(4 + 1)3 = 43 + 3*42*1 + 3*4*12 + 13 = 64 + 48 + 12 = 124
5) O cubo da diferença entre dois termos
(a – b)3 = (a - b).(a – b)2
(a – b).(a2 – 2ab + b2) → (a - b)2
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
Da mesma forma que na operação de soma, o resultado do cubo da diferença é o cubo do primeiro termo subtraído do triplo do primeiro termo ao quadrado e do segundo termo, mais o triplo do primeiro termo e do segundo termo ao quadrado, menos o cubo do segundo termo.
Exemplo:
(5 – 2)3 = 53 - 3*52*2 + 3*5*22 - 23 = 125 – 150 + 60 – 8 = 27
