Fatoração significa dividir um número pelo seu menor divisor primo até chegar ao número 1. Com a fatoração é possível escrever o número que passou por este processo pela multiplicação de seus divisores primos.
Ficou confuso? Natural, já que fomos apresentados ao assunto nos primeiros anos do ensino fundamental e, com o tempo, deixamos de ter contato com ele.
Nesta dica de matemática, você vai relembrar o que é, como fatorar um número, o que são números primos e, de quebra, conferir uma série de exemplos de fatoração.
Existem diferentes tipos de fatoração, dependendo do tipo de número ou expressão que estamos fatorando. Alguns exemplos comuns incluem:
- Fatoração de números inteiros: escrevendo um número como um produto de seus fatores primos. Por exemplo, 60 pode ser fatorado como 2 x 2 x 3 x 5.
- Fatoração de polinômios: escrevendo um polinômio como um produto de seus fatores. Por exemplo, x² + 2x + 1 pode ser fatorado como (x + 1)².
- Fatoração de expressões algébricas: escrevendo uma expressão algébrica como um produto de seus fatores. Por exemplo, x³ - 8 pode ser fatorado como (x - 2)(x² + 2x + 4).
A fatoração pode ser útil para simplificar expressões algébricas, resolver equações, encontrar raízes de polinômios e identificar padrões em números.
O que são e qual a importância dos números primos?
Entender o que é número primo é importante para chegar à questão da fatoração. Um número é primo quando ele é divisível somente por 1 e por ele mesmo.
Sua importância é tanta que desde a Grécia Antiga ele é estudado. O matemático Euclides, por exemplo, já falava sobre isso em "Os elementos", série de 13 livros sobre definições e teorias sobre matemática.
Os números primos também são importantes no mundo da tecnologia. Sabia que eles são muito usados na criptografia. A criptografia é um conjunto gigantesco de números que transformam dados em códigos.
Mas, o que eles têm a ver com tecnologia?
A tecnologia é usada por bancos e aplicativos como o WhatsApp e, quanto maior o número primo, mais segura é a criptografia. Para ter acesso a tais dados é preciso fazer uma tradução dos códigos.
Em 2016, descobriram um número primo com 22 milhões de dígitos que foi apelidado como "M74207281". Já pensou fatorar um número primo com 22 milhões de dígitos? É uma tarefa impossível para um ser humano.
Então, quando você abrir o WhatsApp e se deparar com o aviso " sua mensagem é criptografada de ponta a ponta", saiba que para conseguir rastreá-la será preciso fatorar um número gigantesco.
Quais são os números primos?
Existem 25 números primos: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89 e 97.
Mas, como saber se um número é primo?
Uma maneira é usar o Crivo de Eratóstenes. Este método desenvolvido pelo matemático grego Eratóstenes, consiste no emprego dos conceitos de divisibilidade.
Veja como funciona:
- 1º Passo - divisibilidade por 2: todos os números pares são divisíveis por 2, porém, somente o número 2 é primo, porque apenas ele é divisível por 1 e por ele mesmo. Então, os números 4, 6,8,10,12,14 e os demais pares não são primos.
- 2º Passo - divisibilidade por 3: neste conceito, somente o número 3 é primo, já que ele é divisível por ele mesmo e pelo número 1. Desta forma, os números cuja soma dos algarismos seja igual a 3 não são primos. Assim, o 6, 9, 12, 15, 18 e os demais não são primos.
- 3º Passo - divisibilidade por 5: somente o 5 é primo, porque ele é divisível por ele mesmo e pelo número 1. Os números que terminam em 0 ou 5 como o 10, 15, 20, 25… não são primos, pois possuem mais de 2 divisores.
- 4º Passo - divisibilidade por 7: somente o 7 porque apenas ele é divisível por 1 e por ele mesmo. Vejamos o critério de divisibilidade por 7: multiplicar o último algarismo por 2, pegar o resultado e subtrair pelo primeiro algarismo (14: 4x2 = 8, 8-1=7). Assim, o 14, 21, 28, etc., não são primos.
Qual é a fatoração do número 24,30,60,120,200,500,1000?
Agora que você entendeu o que é número primo, chegou a hora de ensinar você a como fatorar um número. Confira alguns exemplos:
Fatoração do número 24
24 = 2x2x2x3 ou 2²x3
24 | 2
12 | 2
6 | 2
3 | 3
1
Isso significa que 24 pode ser escrito como o produto de 3 fatores iguais a 2 e um fator igual a 3, todos eles primos. Portanto, a fatoração prima do número 24 é 2^3 x 3.
Fatoração do número 30
30 = 2x3x5
30 | 2
15 | 3
5 | 5
1
Isso significa que 30 pode ser escrito como o produto de 2 fatores primos diferentes: 2, 3 e 5. Portanto, a fatoração prima do número 30 é 2 x 3 x 5.
Fatoração do número 60
60 = 2x2x3x5 ou 2²x3x5
60 | 2
30 | 2
15 | 3
5 | 5
1
Isso significa que 60 pode ser escrito como o produto de 2 fatores iguais a 2, 1 fator igual a 3 e 1 fator igual a 5, todos eles primos. Portanto, a fatoração prima do número 60 é 2^2 x 3 x 5.
Fatoração do número 120
120 = 2x2x2x3x5 ou 2³x3x5
120 | 2
60 | 2
30 | 2
15 | 3
5 | 5
1
Isso significa que 120 pode ser escrito como o produto de 3 fatores iguais a 2, 1 fator igual a 3 e 1 fator igual a 5, todos eles primos. Portanto, a fatoração prima do número 120 é 2^3 x 3 x 5.
Fatoração do número 200
200 = 2x2x2x5x5 ou 2³x5²
200 | 2
100 | 2
50 | 2
25 | 5
5 | 5
1
Isso significa que 200 pode ser escrito como o produto de 3 fatores iguais a 2 e 2 fatores iguais a 5, todos eles primos. Portanto, a fatoração prima do número 200 é 2^3 x 5^2.
Fatoração do número 500
500 = 2x2x5x5x5 ou 2²x5³
500 | 2
250 | 2
125 | 5
25 | 5
5 | 5
1
Portanto, a fatoração prima do número 500 é 2^2 x 5^3.
Fatoração do número 1.000
1.000 = 2x2x2xx5x5x5 ou 2³x5³
1000 | 2
500 | 2
250 | 5
125 | 5
25 | 5
5 | 5
1
Isso significa que 1000 pode ser escrito como o produto de 3 fatores iguais a 2 e 3 fatores iguais a 5, todos eles primos. Portanto, a fatoração prima do número 1000 é 2^3 x 5^3.
