Função Inversa - Injetora, Sobrejetora e Bijetora

O objetivo do conceito da função inversa é criar outras funções a partir de funções originais. Somente teremos uma função inversa quando esta for bijetora, ou seja, quando os pares ordenados da função original f também pertencerem à função inversa f^-1.

Também definimos a função bijetora como uma função que é tanto injetora como sobrejetora. A sobrejetora é aquela que todos os elementos do contradomínio fazem parte da imagem, e já a função injetora define que cada elemento do domínio deve possuir uma única e distinta imagem. Uma vez conhecidas as informações acima, sabemos que essas são as características de uma função inversa.

Dado os conjuntos A = {-1, 3, 5, 7, 9} e B = {1, 4, 7, 9, 11} e a função A→B definida pela função f(x) = x + 2, temos o seguinte diagrama abaixo:

Sendo assim: f = { (-1, 1), (2, 4), (5, 7), (7,9), (9,11)}

Uma vez que essa função é bijetora porque cada elemento do domínio está ligado a um único elemento da imagem, essa função pode ser transformada em uma função inversa.

A função será formada por f^-1 de A→B, o que resultará em f^-1 : B→A e precisaremos realizar a troca entre x e y na equação y = x + 2 que resultará em x = y + 2. Agora, trocando os sinais teremos -x = -y – 2 → y = x – 2, logo f^-1 = y = x – 2.

Na inversa, o que é imagem vira domínio e o que é domínio vira imagem.

Então f^-1 : {(1, -1), (4, 2), (7, 5), (9, 7), (9, 11)}

Devemos, para obter uma função inversa, seguir o seguinte roteiro:

1. Trocar as variáveis de lugar. Colocar o x antes do sinal de igualdade e o y depois.
2. Isolar o y realizando as operações necessárias.

Exemplos

1) Determine a função inversa da equação y = 3x +2.

• Primeiro, trocamos as variáveis de lugar.
• x = 3y + 2
• Agora precisamos isolar o y.
• f^-1(x) =x-2/3

2) Considere os conjuntos A = {2, 3, -1, 5, -3} e o conjunto {1, 3, -5, 7, 9} e a função f: A→B tal que f (x) = 2x – 3. A função é invertível?

• Para isso, precisamos testar os valores de x e y dentro da equação.
• f (x) = 2x – 3
• (2, 1) → 1 = 2 * 2 – 3 → 1 = 1 = 1
• (3, 3) → 3 = 2 * 3 – 3 → 3 = 3
• (-1, -5) → -5 = 2 * (-1) – 3 → -5 = -5
• (5, 7) → 7 = 2 * (5) – 3 → 7 = 7
• (-3, 9) → 9 = 2 * (-3) – 3 → 9 = -9 → 9 ≠ 9

Exercícios de função inversa com gabarito